Integrale doppio con parti frazionarie

[Bianco17]

Torno a chiedere il vostro aiuto per una nuova bestia. Questa volta è un integrale doppio dove compare la parte frazionaria del rapporto delle due variabili di integrazione in una forma che lo rende alquanto complesso anche per la presenza di un parametro \(n\in\mathbb{N}\). Abbiamo \[\int_0^1\int_0^1 (xy)^n\left\{\frac xy\right\}\left\{\frac yx\right\}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\] dove l'elemento di maggior disturbo è a mio parere la presenza del prodotto tra le due parti frazionarie (dove \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\)) con gli argomenti reciproci… Ora, detto ciò, i miei tentativi non hanno avuto molto successo ma essendo il risultato \[\frac1{(n+1)^2}-\frac{\zeta(n+2)}{(n+1)(n+2)}\] ho pensato che per la presenza della \(\zeta(n+2)\) dovesse risultare una serie da qualche parte. Ho subito pensato di spezzare almeno uno dei due integrali nella somma di integrali su intervalli del tipo \([k,k+1)\) senza molto successo… Sto letteralmente impazzendo, considerando anche che non dovrebbe essere l'integrale più difficile del capitolo, quindi… Avete qualche idea?

[totissimus]

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La funzione integranda è simmetrica rispetto a x e y quindi posiamo
integrare sulla metà del quadrato:

$$I=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}(xy)^{n}\left\{ \frac{x}{y}\right\} \left\{ \frac{y}{x}\right\} dy=2\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}(xy)^{n}\left\{ \frac{x}{y}\right\} \frac{y}{x}dy=2\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}x^{n-1}y^{n+1}\left\{ \frac{x}{y}\right\} dy$$

Poniamo $$k\leq\frac{x}{y}<k+1$$,$$k=1,2,...$$

da cui $$\frac{x}{k+1}<y\leq\frac{x}{k}$$

L'integrale interno si scompone in una serie:

$$\int_{0}^{x}x^{n-1}y^{n+1}\left\{ \frac{x}{y}\right\} dy=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{\frac{x}{k+1}}^{\frac{x}{k}}x^{n-1}y^{n+1}\left(\frac{x}{y}-k\right)dy=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{\frac{x}{k+1}}^{\frac{x}{k}}(x^{n}y^{n}-kx^{n-1}y^{n+1})dy=$$

$$\sum_{k=1}^{\infty}\int_{\frac{x}{k+1}}^{\frac{x}{k}}x^{n}y^{n}dy-\sum_{k=1}^{\infty}kx^{n-1}\int_{\frac{x}{k+1}}^{\frac{x}{k}}y^{n+1}dy=$$

$$\int_{0}^{x}x^{n}y^{n}dy-\sum_{k=1}^{\infty}kx^{n-1}\left[\frac{1}{n+2}(\frac{x}{k})^{n+2}-\frac{1}{n+2}(\frac{x}{k+1})^{n+2}\right]$$=

$$x^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{1}{k^{n+1}}-\frac{k}{(k+1)^{n+2}}\right]=$$

$$\frac{x^{2n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{1}{k^{n+1}}-\frac{k+1-1}{(k+1)^{n+2}}\right]=$$

$$\frac{x^{2n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{1}{k^{n+1}}-\frac{1}{(k+1)^{n+1}}+\frac{1}{(k+1)^{n+2}}\right]=$$

$$\frac{x^{2n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{n+1}}-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{n+1}}+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{n+2}}\right)=$$

$$\frac{x^{2n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\left(1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{n+2}}\right)=$$

$$\frac{x^{2n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{n+2}}=$$

$$\frac{x^{2n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\zeta(n+2)=$$

Ritornando all'integrale di partenza

$$I=2\int_{0}^{1}\left[\frac{x^{2n+1}}{n+1}-\frac{x^{2n+1}}{n+2}\zeta(n+2)\right]dx=2\left[\frac{1}{(n+1)(2n+2)}-\frac{\zeta(n+2)}{(n+2)(2n+2)}\right]=\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{\zeta(n+2)}{(n+2)(n+1)}$$