Serie del rapporto tra l'$n$-esimo numero armonico e l'$n$-esima potenza quarta

[Bianco17]

Ho questo dubbio da qualche giorno cui non riesco a trovare soluzione. La mia domanda è, in primis, il calcolo di un'eventuale forma chiusa di questa serie \[\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^4}\] e in seguito nasce spontaneo chiedersi se è possibile trovare una generalizzazione del risultato per le serie del tipo \[\Xi(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^s}\] con \(s\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\). Il calcolo di \(\Xi(2)\) e \(\Xi(3)\) risulta abbastanza semplice: per \(s=2\) ci si riconduce alla funzione dilogaritmica \(\mathrm{Li}_2(x)\) e al calcolo di un integrale doppio ottenendo \(\Xi(2)=2\zeta(3)\); per \(s=3\) occorre ragionare sulla simmetria degli indici delle due serie che compaiono ricavando \(\Xi(3)=\frac{\zeta^2(4)}{2}\). Da \(s\geq4\) i calcoli si complicano parecchio… Dunque, si può trovare un'espressione di \(\Xi(s)\) secondo funzioni elementari o speciali o magari, dati i casi già calcolati, esclusivamente mediante la \(\zeta(z)\) di Riemann?