Convessità

[ficus2002]

Ripropongo questo problema che avevo già postato in passato.
Sia $f$ una funzione convessa. Allora, per ogni $x_1,x_2,x_3$ nel suo dominio, è
$f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f((x_1+x_2+x_3)/3)\ge 4/3 [f((x_1+x_2)/2)+f((x_2+x_3)/2)+f((x_3+x_1)/2)]$.

[digi88]

Ci provo....Tuttavia credo che il sig. Johan Jensen faccia proprio al caso nostro...
Essendo $f$ convessa possiamo applicare la disuqguaglianza di J. in questo modo:
$1/2[ f(x_1)+f(x_2)]\ge f((x_1 + x_2)/2)$.
Ripetendo l'operazione per i tre addendi al secondo membro si doverebbe avere (credo ):
$ 4/3[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)]\ge4/3[f((x_1 + x_2)/2)+f((x_2 + x_3)/2)+f((x_1 + x_3)/2)]$.
Ritornando alla disuguaglianza proposta da ficus 2002 si avrà quindi che:
$3f(x_1)+3f(x_2)+3f(x_3)+3f((x_1+x_2+x_3)/3)\geq 4f(x_1)+4f(x_2)+4f(x_3)$.
Facendo due conti si ha che:
$f((x_1+x_2+x_3)/3)\geq 1/3[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)]$
appunto la disuguaglianza di Jensen..... (spero)...
Purtroppo parto e saprò solo tra una settimana se la mia risposta è parzialmente valida....
BUONE VACANZE