Con un ritardo imperdonabile, lascio la mia soluzione (che è sicuramente migliorabile):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La tesi è ovvia per $n<=2$, quindi d'ora in avanti suppongo $n>=3$. Inoltre, per alleggerire la notazione, definisco $f(n)=2^n$ e indico con $n \uparrow \uparrow k$ la torre di potenze $n^{n^{...}}$ in cui $n$ compare $k$ volte ($k>=1$).
Usiamo la disuguaglianza $2^n>=2n$, che si dimostra facilmente essere vera per ogni $n>=3$. Possiamo allora dire che, dati $n>=3$ e $M>=1$, risulta
$2n*n^M<2n*(2n)^M=(2n)^(M+1)<=(2^n)^{2M}=2^{2nM}$
e in particolare
$2n*(n \uparrow \uparrow (k+1))<f(2n*(n \uparrow \uparrow k))$.
Ora, dato $n>=3$, si ha:
$B_n=n \uparrow \uparrow n<2n*(n \uparrow \uparrow n)<f(2n*(n \uparrow \uparrow (n-1)))<f^2(2n*(n \uparrow \uparrow (n-2)))<...<f^{n-1}(2n*(n \uparrow \uparrow 1) )=f^{n-1}(2n^2)$.
Poiché $A_n=f^n(n)$, è sufficiente che valga $2^n>=2n^2$, che è vera per $n>=7$.
Se invece $3<=n<=6$, si può partire da
$4*n^{n^M}<4*8^{n^M}=2^(2+3n^M)<2^{4n^M}$
e dimostrare in modo analogo che $B_n<f^{n-2}(4n^n)$. Poiché $4n^n<4*8^n=2^(3n+2)$, è sufficiente $2^n>=3n+2$, che è vera per ogni $n>=4$.
Infine, se $n=3$, abbiamo $B_3=3^27<4^27=2^54<2^256=A_3$.