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Salve a tutti! Dopo la maturità, mi sto concentrando sul concorso bandito dall'INdAM per le borse di studio dedicate alle nuove matricole delle facoltà italiane di Matematica. Per esercitarmi, sto risolvendo le prove degli anni passati e due giorni fa mi sono imbattuto in un problemone di geometria riguardo particolari costruzioni su triangoli. Riporto la traccia per intero:
"Un triangolo acutangolo $ABC$, i cui angoli di vertici $A$,$B$,$C$ hanno ampiezze indicate rispettivamente con $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ è inscritto nella circonferenza $\delta$.
(a) Le bisettrici uscenti da $A$,$B$,$C$ si incontrano nell'incentro $I$ del triangolo $ABC$ ed intersecano ulteriormente la circonferenza $\delta$ nei punti \(A'\),\(B'\),\(C'\). Esprimere le ampiezze \(\alpha'\),\(\beta'\),\(\gamma'\) degli angoli del triangolo $A'B'C'$ in funzione di $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Dimostrare che $I$ è l'ortocentro del triangolo \(A'B'C'\).
(b) Le altezze uscenti da $A$,$B$,$C$ si incontrano nell'ortocentro $H$ del triangolo $ABC$ ed intersecano ulteriormente la circonferenza $\delta$ nei punti \(A''\),\(B''\),\(C''\). Esprimere le ampiezze \(\alpha''\),\(\beta''\),\(\gamma''\) degli angoli del triangolo \(A''B''C''\) in funzione di $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Dimostrare che $H$ è l'incentro del triangolo \(A''B''C''\).
(c) Dimostrare che, ripetendo più volte la costruzione \(ABC\rightsquigarrow A'B'C'\) (applicandola via via ai nuovi triangoli ottenuti), si otterranno sempre dei triangoli acutangoli.
(d) Dimostrare che, ripetendo più volte la costruzione \(ABC\rightsquigarrow A''B''C''\) (applicandola via via ai nuovi triangoli ottenuti), si otterranno sempre dei triangoli acutangoli se e solo se il triangolo iniziale $ABC$ è equilatero."
Personalmente, non saprei dove mettere le mani, in particolar modo ai punti (a) e (b) perché, vedendo un po' gli altri problemi di queste prove, generalmente gli ultimi punti seguono facilmente dai primi con qualche semplice osservazione: credo che il tutto stia nell'ottenere l'espressione degli angoli dei nuovi triangoli che si generano dalle due costruzioni descritte ma soltanto questo mi sembra già particolarmente complicato... Potresti darmi una mano?

Suggerimento punto(a)

Giusto, non l'avevo minimamente notato... Per il resto?

Punto b)

Perdonami @totissimus, ma non ho ben capito cosa hai trovato per (b)... Ad ogni modo, col tuo punto (a) hai risvegliato il mio occhio, ultimamente poco allenato alla geometria, tanto da riuscire a trovare una soluzione soddisfacente all'intero problema. Sono particolarmente contento di sottoporre alla vostra opinione la mia trovata per il punto (d), che riporto di seguito assieme a (b) per completezza di trattazione:



Ammesso e non concesso che sia formalmente corretta, mi sono divertito parecchio e spero con tutto il cuore che sia valida! L'unica cosa che ancora mi chiedo è se esiste una soluzione più semplice della mia, considerando che nel resto della prova ci sono altre due dimostrazioni belle corpose (di cui una mi sfugge ancora in alcune parti...) e altri 17 quesiti più o meno rapidi...

@bianco17
Nel mio secondo post ho scritto punto b), mi sono sbagliato volevo riferirmi alla seconda parte del punto a)

Sisì, rileggendo con attenzione mi ritrovo esattamente con quello che ho fatto io poi Per quanto riguarda la soluzione a (d) hai avuto qualche idea migliore o perlomeno differente rispetto alla mia?