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E' un problema piuttosto classico. Il trucco è non pensare alla palla che rimbalza sulle sponde, ma tassellare il piano usando il tavolo da biliardo. Siccome questo è un rettangolo, si ottiene un reticolo in $\mathbb C$. Adesso $P$ è un punto di uno dei rettangoli della tassellazione, e lanciare la palla corrisponde a tracciare una semiretta che parte da $P$. Quando questa attraversa il bordo del rettangolo, diventa l'immagine speculare del rimbalzo sulla sponda. Pensando in questo modo e facendo qualche altra considerazione elementare ci si accorge che il problema diventa: dato un reticolo in $\mathbb C$ ed un punto $P$ nel piano, provare che esiste una retta che passa per $P$ e non contiene nessun punto del reticolo. Ma questo è ovvio perchè c'è un continuo di rette mentre il reticolo ha una quantità numerabile di punti.

Per la verità forse basta ancora meno. Se $P$ è il punto di partenza (supponi per semplicità che sia interno al biliardo), ogni rettangolo della tassellazione contiene esattamente un punto che è il riflesso di $P$. L'insieme di questi punti non forma un reticolo ma è comunque numerabile, perchè la tassellazione è fatta di numerabili rettangoli.

Usando l'idea di hydro un po' più semplificata:

Supponiamo che il tavolo sia di dimensioni $b$ e $h$

Lo posiziono come griglia nel piano $RR^2$

Ora se io posiziono la pallina in $(0,0)$ sul resto del reticolo tale punto sarà identificato in un reticolo di punti del tipo $(mb,nh)$ con $m,n \in NN$

Ora alla pallina do l'inclinazione $jh/b$ con $j$ irrazionale. La traiettoria è quindi la retta con funzione $y=jh/bx$

Se prendo un qualsiasi $x=mb$, ossia una $x$ in cui abbiamo la nostra pallina avremmo che $y=jhm$ quindi $th=jhm$ ossia $t=jm$. Essendo $j$ irrazionale ed $m$ naturale abbiamo che $t$ è irrazionale, ma la $y$ di un punto del nostro reticolo è uguale ad un $nh$ con $n\inNN$, qui invece abbiamo $y=th$ con $t\notinNN$

Ne risulta che la retta $y=jh/bx$ non incrocia il nostro reticolo.