Avvertenze preliminari di carattere oftalmico: la dimostrazione che segue è di faticosa lettura. Non certo per i contenuti ma per la forma dell'esposizione: la mia vecchia ignoranza in materia di LaTeX mi ha costretto ad improvvisare. In particolare ho usato il simbolo di uguaglianza ordinario (=,insomma) come simbolo di congruenza. Matematicamente bestiale, ma questa avvertenza dovrebbe bastare per civilizzare la faccenda.
Si tratta di dimostrare che per ogni k appartenente ad N esiste un Fibonacci divisibile per $10^k$.
Lo dimostro (automatica correzione del tiro: cerco di dimostrarlo) per k=1 e generalizzo con una breve riga in fondo.
Consideriamo le coppie di fibonacci della forma $(f(i),f(i+1))$, con i che varia tra $0$ e $99$. Riducendo le coppie modulo $10$ si hanno due possibilità: o esiste una coppia congrua a $(0,0)$ e in questo caso è sufficiente sommare i due fibonacci per trovarne un terzo che soddisfa la tesi, oppure esistono due coppie congruenti. Supponiamo quindi $(f(i),f(i+1))$ congruo a $(f(j),f(j+1))$, $(mod 10)$ e $i>j$. Si ottiene quindi $f(i+1)=f(j+1)$ e $f(i)=f(j)$, $mod(10)$. Sottraendo la seconda congruenza alla prima abbiamo $f(i+1)-f(i) = f(j+1)-f(j)$ e quindi $f(i-1)=f(j-1)$. Si itera il procedimento fino a $f(i-j+1)-f(i-j)= f(1)-f(0)$. A questo punto è sufficiente ricordare che $f(0)=f(1)=1$ per affermare che $f(i-j-1)$ è congruo a $0$ $(mod 10)$.
Generalizzazione di una riga (come promesso): per esponenti $k$ maggiori di $1$ è sufficiente prendere in considerazione le prime $10^(2k)-1$ coppie di fibonacci.
Com'è naturale, aspetto conferme o rimproveri da Tom...