Beccatevi questi...

[luluemicia]

in effetti quel solo per n=1 sta per:
2 divide (a+b) e per ogni n distinto da 1 si ha che $a^(n-1)+b^(n-1)$ non divide $a^n+b^n$.

[Steven]

A) Sia n un intero tale che sia:
$(5^(n-1)+7^(n-1))|(5^n+7^n)$
Dimostrare che l'unica soluzione e' n=1

Per una dimostrazione di una riga, basta prendere il modulo $6$ di $k(5^{n-1}+7^{n-1})=5^n+7^n$.

Passavo per caso, e ripesco.
Potreste dirmi come faccio a calcolare i membri di quell'equazione in modulo6 come suggerito da TomSawyer?
Per $7^n$ si ha facilmente 1, ma sono il $5^n$ e il primo membro che mi mettono in agitazione.

Correggetemi se sbaglio.
$k*5^(n-1)+k*7^(n-1)=5^n+7^n$
Riducendo modulo 6 dovrei avere
$k*5^(n-1)+k \equiv 5^n+1 (mod6)$
Non escludo errori.
Come si andrebbe avanti, comunque?

Ciao a tutti.

[manlio]

Salvo errori , occorre distinguere tra n pari ed n dispari.Questo perché ,mentre è sempre $7^n-=1 (mod 6)$, invece è $5^n-=1 (mod (6)$ per n pari e per n dispari è $5^n-=-1(mod 6)$.
Partiamo allora dalla eguaglianza:
(1) $k(5^(n-1)+7^(n-1))=5^n+7^n$ con $k in N-{0}$
Operando in mod 6 ,risulta :
a) per n pari : $0-=2 (mod 6)$ che evidentemente non ha soluzioni .
b) per n dispari: $2k-=0(mod 6)$ le cui soluzioni sono k=3u .Sostituendo tale valore nella (1) si ha :
(2) $5^(n-1)(3u-5)=7^(n-1)(7-3u)$
Dovendo essere i due membri della (2) dello stesso segno si ha che $5/3<u<7/3$ e poiché in tale intervallo l'unico valore intero di u è u=2,la (2) diventa $5^(n-1)=7^(n-1)$.E la soluzione possibile è appunto n=1.
Può darsi che ,come dice TomSawyer,la soluzione sia scrivibile in un solo rigo ma intanto ...beccatevi questa !!!
Buon Natale a tutti ( sperando che nessuno si offenda !!!)
Ciao

[Steven]

Grazie mille, tutto molto chiaro.
Buone feste anche a te.