da manlio » 25/12/2007, 13:36
Essendo $alpha,beta,gamma$ gli angoli di un triangolo ( di cui indichiamo con a,b,c i lati
ed R il circoraggio),si hanno le seguenti relazioni:
$a=2Rsin alpha,b=2Rsin beta,c=2Rsin gamma$
$A=(abc)/(4R)=2R^2sin alpha sin beta sin gamma$
$sin beta sin gamma <=(1+cos alpha)/2$
$sin^2 alpha +sin^2 beta+ sin^2 gamma=2(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)$
Le ultime due relazioni si possono verificare sostituendo in esse $alpha=pi-(beta+gamma)$
Ciò fatto risulta:
$a^2+b^2+c^2=4R^2(sin^2 alpha +sin^2 beta+ sin^2 gamma)=8R^2(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)$
Pertanto:
$(a^2+b^2+c^2)/(4A)=(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)/(sin alpha sin beta sin gamma)=cot alpha +cot beta+cot gamma$
Si tratta quindi di dimostrare che è:
$cot alpha +cot beta+cot gamma>= sqrt3$
Ora è:
$cot alpha +cot beta+cot gamma=(cos alpha)/(sin alpha)+(sin(beta+gamma))/(sin beta sin gamma)=(cos alpha)/(sin alpha)+(sin alpha)/(sin beta sin gamma)$
Per la terza relazione indicata è allora:
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=(cos alpha)/(sin alpha)+(2sin alpha)/(1+cos alpha)$
Od anche (scritta in maniera ad hoc) :
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=(1+cos alpha)/(2sin alpha)+(3 sin alpha)/(2(1+cos alpha))$
Ed applicando la AM-GM alla fine si ha :
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=2sqrt((1+cos alpha)/(2sin alpha)*(3 sin alpha)/(2(1+cos alpha)))=2sqrt(3/4)=sqrt3$
C.V.D.
Ciao