trovare luogo dei punti

[elios]

Si dice che un punto P esterno a una circonferenza C "vede" la circonferenza sotto un angolo $theta$ se l'angolo (contenente C) compreso tra le tangenti a C condotte da P è uguale a $theta$.
Date due circonferenze C, C' esterne l'una all'altra, di centri O, O' e raggi R,R', costruire il luogo dei punti che vedono le due circonferenze sotto lo stesso angolo.

[franced]

Iniziamo con l'osservare che il luogo dei punti del piano che vedono una data circonferenza sotto lo stesso angolo è costituita da circonferenza avente lo stesso centro.

Francesco Daddi

[manlio]

Dalla figura risulta:
$R=PO*sin(a),R'=PO'*sin(a)$ e dividendo : $(PO)/(PO')=R/(R')$
Pertanto il luogo richiesto è quello dei punti per i quali è costante il rapporto delle distanze dai centri delle due circonferenze.Tale luogo è ipernoto ed è la cosiddetta Circonferenza di Apollonio.
Tale circonferenza si costruisce facilmente individuando su OO' i punti M ed N che dividono ,internamente ed esternamente ,il segmento OO' nel rapporto R/R'.La circonferenza richiesta sarà allora quella di diametro MN.
Ciao

[elios]

Per Manlio: ovvero quei due punti M e N tali che $(OM)/(O'M)=R/R'$ e $(ON)/(O'N)=R/R'$? Anche io ero arrivata alla proporzione che hai scritto, ma non riuscivo in nessun modo ad andare avanti..
Per franced: non ho capito cosa intendi con 'circonferenze relative'..

[franced]

https://it.wikipedia.org/wiki/Cerchio_di_Apollonio

Francesco Daddi

[franced]

Sarebbe interessante vedere come si generalizza il problema, ad esempio:
qual è il luogo geometrico dei punti del piano per cui l'angolo sotto cui vedono la circonferenza C1 è doppio rispetto all'angolo sotto cui vedono la circonferenza C2?

Francesco Daddi