[Algebra lineare] Raggio spettrale di un prodotto

[Gabriel]

Siano $n \ge 1$ un intero e $\rho(A)$ il raggio spettrale di $A$, per ogni $A \in \mathbb{C}^{n,n}$. Stabilire, allora, se è vero che, comunque scelti $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{C}$ ed $A \in \mathbb{C}^{n,n}$, vale $\rho(A) \cdot \min_{1 \le i \le n} |\alpha_i|\le \rho(AB) \le \rho(A) \cdot \max_{1 \le i \le n} |\alpha_i|$, dove $B$ è la matrice diagonale $n \times n$ i cui elementi sono gli scalari $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$. Oppure esibire un esempio in senso contrario.

[rubik]

per quanto riguarda $rho(AB)<=rho(A)*rho(B)$
sia $||-||$ una norma matriciale indotta
si ha che $rho(A)=Inf_(||-||)||A||$
abbiamo che $||AB||<=||A||*||B||$ passando all'inf si ottiene la tesi. l'altra disuguaglianza non saprei devo pensarci
(non so come si fa inf col codice )

[Gabriel]

per quanto riguarda $rho(AB)<=rho(A)*rho(B)$ sia $||-||$ una norma matriciale indotta
si ha che $rho(A)=Inf_(||-||)||A||$ abbiamo che $||AB||<=||A||*||B||$ passando all'inf si ottiene la tesi.

Falso. Se pure è vero che $\rho(AB) \le ||A|| \cdot ||B||$, per ogni norma matriciale indotta $||\cdot||: \mathbb{C}^{n,n} \to \mathbb{R}$, di certo non è sufficiente perché se ne possa dedurre la disuguaglianza di destra del problema. Che infatti $1 = \rho(AB) > \rho(A) \cdot \rho(B) = 0$, se $A = [(0, 1),(0, 0)]$ e $B = [(0,0),(1,0)]$.

[rubik]

mi sembrava filasse a quanto pare non filava affatto

[rubik]

il tuo controesempio non funziona (funziona in generale ma non nelle ipotesi del teorema) il problema parlava di B matrice diagonale. non vorrei aggiungere qualche stupidaggine ma una volta considerato che $rho(AB)<=||A||*||B||$ essendo la norma indotta e B diagonale $||B||=\max_i |a_i|$ (indipendentemente dalla norma). quindi si ottiene $rho(AB)<=||A||*\max_i |a_i|$ e passando all'inf sulla norma di A si potrebbe ( ) ottenere la tesi. che dici?

[ViciousGoblin]

Mi pare che rubik abbia ragione per la diseguaglianza di destra.
Per quella di sinistra si potrebbe ragionare così: se il minimo degli
$a_j$ è zero non c'è nulla da dimostrare, se non è zero si può
scrivere $A=(AB)B^-1$ e riapplicare la prima diseguaglianza.

[Gabriel]

il tuo controesempio non funziona (funziona in generale ma non nelle ipotesi del teorema) il problema parlava di B matrice diagonale.

Il controesempio, infatti, era finalizzato a smentire le conclusioni del tuo primo intervento sul topic - che sembrano trascendere completamente, nei termini in cui sono presentate, dalle particolari ipotesi del problema circa la natura diagonale della matrice $B$. Detto questo ...

[...] una volta considerato che $rho(AB)<=||A||*||B||$ essendo la norma indotta e B diagonale $||B||=\max_i |a_i|$ (indipendentemente dalla norma). quindi si ottiene $rho(AB)<=||A||*\max_i |a_i|$ e passando all'inf sulla norma di A si potrebbe ottenere la tesi. che dici?

Potrei anche essere d'accordo, se soltanto mi volessi dimostrare quanto, viceversa, vai sostenendo senza darne prove. I.e., che $||B|| = \max_{1 \le i \le n} |a_i|$, quando $B \in \mathbb{C}^{n,n}$ è diagonale di elementi $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$ e $\|\cdot\|: \mathbb{C}^{n,n} \to \mathbb{R}$ è una qualunque norma matriciale indotta.

[ViciousGoblin]

Scusate se mi intrometto di nuovo.

||B||=max1≤i≤n|ai|, quando B∈ℂn,n è diagonale di elementi a1,a2,...,an∈ℂ e |⋅|:ℂn,n→ℝ è una qualunque norma matriciale indotta.

In effetti l'affermazione sopra è meno evidente di quanto mi fosse sembrato di primo acchito ( se capisco bene con
"norma matriciale indotta" si intende il $||B||:=max{|| Bx||_X / ||x||_X: ||x||_X\ne 0}$, dove $||\cdot||_X$ è e una qualunque norma su $X=C^n$).

A parte il fatto che per dimostrare la proprietà sui raggi spettrali si potrebbe prendere come $||\cdot||_X$ la norma euclidea, in cui
(1) $||B||=max1≤i≤n|ai|$
è abbastanza evidente, rimane il fatto che (1) è vera comunque sia scelta $||\cdot||_X$. Immagino che questo sia ben noto - io per vederlo farei così:

(a) dato $x=(x_1,...,x_n)$ in $X$ e $a$ con $|a|\leq 1$ si ha $||(x_1,...,a x_i,...,x_n)||_X\leq||x||_X$, per la convessità della norma.

(b) di conseguenza, se $a_1,...,a_n$ hanno modulo minore o eguale a $1$, allora $||(a_1 x_1,...,a_n x_n)||_X\leq||x||_X$

(c) Siano $a_1,...,a_n$ qualunque e sia $B$ diagonale di elementi; poniamo $a:=max{|a_1|,...,|a_n|}$.
Allora $||Bx||_X=a||(a_1x_1/a,...,a_n x_n/a)||_X\leq a||x||_X$ e quindi $||B||\leq a$

(d) Preso come $x$ il versore $i$-esimo si ha $Bx=a_i x$ da cui segue subito l'eguaglianza.

[Gabriel]

Scusate se mi intrometto di nuovo.

Nulla di cui debba scusarti, naturalmente, anzi mi fa contento che la questione abbia attratto il tuo interesse.

In effetti l'affermazione sopra è meno evidente di quanto mi fosse sembrato di primo acchito ( se capisco bene con
"norma matriciale indotta" si intende il $||B||:=max{|| Bx||_X / ||x||_X: ||x||_X\ne 0}$, dove $||\cdot||_X$ è e una qualunque norma su $X=C^n$).

L'interpretazione è quella giusta, sì.

A parte il fatto che per dimostrare la proprietà sui raggi spettrali si potrebbe prendere come $||\cdot||_X$ la norma euclidea, in cui
(1) $||B||=\max_{1 \le i \le n}|a_i|$
è abbastanza evidente [...]

Ho difficoltà a seguirti. Se $||\cdot||_2$ su $CC^{n,n}$ è la norma euclidea indotta, consideriamo pure che $\rho(AB) \le ||A||_2 \cdot ||B||_2 = \max_{1 \le i \le n} |a_i| \cdot ||A||_2$, quando $A,B \in CC^{n,n}$ e $B$ è diagonale di elementi $a_1, \ldots, a_n \in CC$. E allora ...?

[ViciousGoblin]

E allora ...?

e allora un bel niente ...

Scusa ho detto una cavolata - per tornare al raggio spettrale bisogna considerare TUTTE le norme indotte (questo basta ?? ci penso un momento--).
Pero' mi pare che la valutazione della norma di una matrice diagonale come il massimo modulo dei suoi elementi (qualunque sia la norma)
sia corretta e quindi il ragionamento di rubik dovrebbe stare in piedi.