Equazione di secondo grado con radici razionali - SNS 1971

[Erasmus_First]

Ti è chiaro? Ciao!

Giusto impostare la dimostrazione "per assurdo" (cioè. mostrare che l'ipotesi che x sia razionale conduce a contraddizione). Ma mi pare che nel tuo percorso ci siano alcuni passi ... per lo meno poco chiari. Chiedo venia se invece ... sono io che fraintendo.

Comunque, mi va di rifare questa dimostrazione.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

E' superfluo iniziare con l'equazione di 2° grado. Si può comprenderla in $x^n + 2p·x + 2q = 0$ per $n$ intero e maggiore di 1.

Dunque il quiz diventa:
«Siano $n$, $p$ e $q$ interi; sia $n > 1$; siano $p$ e $q$ entrambi dispari.
Dimostrare che allora l'equazione $x^n + 2p·x + 2q = 0$ non ammette soluzioni razionali»

Supponiamo, per assurdo, che una soluzione sia razionale, diciamola $x = a/b$ con $a$ e $b$ interi e coprimi.
Allora sarebbe
$(a/b)^n + 2p·a/b + 2q = 0$
che equivale a
$a^n = -2(pa + qb)b^(n-1)$. (*)

Essendo $a$ e $b$ coprimi, non possono essere entrambi pari.
Rispetto alla "parità" i casi sono tre.
1) $a$ dispari e $b$ pari.
2) $a$ e $b$ entrambi dispari.
3) $a$ pari e $b$ dispari.
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Casi 1) e 2) [ $a$ dispari e $b$ pari; oppure $a$ e $b$ entrambi dispari]
L'uguagianza (*) è impossibile perché il membro sinistro viene dispari mentre il membro destro è [sempre] pari.

Caso 3) [ $a$ pari e $b$ dispari]
Essendo $p$ e $q$ entrambi dispari, il membro destro della (*) è il doppio di un dispari perché $pa + qb$ e $b^(n-1)$ sono entrambi dspari.
Invece il membro sinistro, essendo $n > 1$, è il doppio di un pari. L'uguaglianza (*) è impossibile anche in questo caso.

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[Cantor99]

Salve a tutti, è il primo messaggio che scrivo e scusatemi se riesumo questo messaggio di anni addietro...

Allora per il secondo punto avevo pensato di procedere così:
Sia $s=a/b$ una soluzione razionale dell'equazione data. Per il teorema delle radici razionali, si deve avere che $b$ divide 1 e che $a$ divide $2q$. Visto che i divisori di 1 sono 1 e -1, possiamo affermare che $b=1$ o $ b=-1$. I divisori di $2q$ invece sono 2, 1, $q$ e i divisori di $q$ stesso.
Prendiamo in considerazione le varie soluzioni razionali dell'equazione:
1) se $s=1$ si ha $1+2p+2q=0$ cioè $2q=-2p-1$, il che è assurdo; lo stesso ragionamento vale per $s=-1$
2) se $s=2$ si ha $2^n+4p+2q=0$, ed essendo $n>2$, $2^(n-1)=-2p-q$ il che è assurdo; analogamente è impossibile che $s=-1/2$
3) se $s=d$ ,qualsiasi divisore di $q$ maggiore di 2, avremo $(d)^n+2pd+2q=0$ cioè $d^n=-2pd-2q$ ma d non può essere pari.

Che ne dite può funzionare??
Grazie per chi risponderà