"Dimostrare che, per ogni intero positivo $n$, il numero $N=n^2+1$ non è divisibile per 3.
Facoltativo: dire per quali interi positivi $s$ esistono interi $n$ tali che $n^s+1$ è divisibile per 3".
Ho dimostrato la prima parte attraverso il principio di induzione:
per $n=1$, $N=2$ che non è divisibile per 3.
Per $n+1$, si ha $N=(n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=(n^2+1) + (2n+1)$
La prima parentesi per ipotesi induttiva è non divisibile per 3. Se un numero (in questo caso $n^2+1$) è non divisibile per tre, allora lo è o $(n^2+1)+1$ o $(n^2+1)+2$. Ma per nessun intero positivo $n$, $(2n+1)=1$ oppure $(2n+1)=2$, quindi la somma $(n^2+1)+(2n+1)$ non è divisibile per 3.
Per la seconda parte, non credo sia plausibile fare con il principio di induzione, ma non so bene come andare avanti.. Come faccio a sfruttare il criterio di divisibilità per 3?
Grazie dell'aiuto.