Io provo la parte facoltativa
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Vado giù di congruenze. Mi interessa come si comporta la potenza $s-esima$ e i suoi residui.
Posso avere:
$n equiv0(mod3)=>n^s+1equiv1(mod3)$ e quindi non è divisibile per $3$.
$n equiv1(mod3)=>n^s+1equiv1^s+1(mod3)$ e anche qui non c'è nulla da fare.
$n equiv2(mod3)=>n^s+1equiv2^s+1(mod3)$
In quest'ultimo caso, se $2^s+1equiv0(mod3)$ per transitività si conclude.
Notiamo che se $s$ è pari o dispari allora:
$s=2k=>[2^(2k)+1]=[4]^k+[1]=[2]ne[0]$
$s=2k+1=>[2^(2k+1)+1]=[4]^k[2]+[1]=[0]$ ovviamente modulo $3$
se $s$ è pari allora $n^s+1$ non è divisibile per $3$
se $n=3k+2,kinNN$ e $s=2t+1,tinNN$ allora $n^s+1$ è divisibile per $3$
essendo che le classi di resto modulo $3$ sono soltanto $3$ non abbiamo altri casi da provare.