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Sia \( \displaystyle G \) un gruppo finito che agisca transitivamente e fedelmente su un insieme \( \displaystyle \Omega \) anch'esso finito, con \( \displaystyle |\Omega| \geq 2 \) .

Chiamiamo "base" di tale azione un sottoinsieme \( \displaystyle \Gamma \) di \( \displaystyle \Omega \) tale che se un elemento \( \displaystyle g \in G \) fissa ogni elemento di \( \displaystyle \Gamma \) allora e' l'identita', e di cardinalita' minima con questa proprieta'. Denotiamo tale cardinalita' minima con \( \displaystyle b(G) \) .

Dato \( \displaystyle g \in G \) indichiamo con \( \displaystyle \text{supp}(g) \) l'insieme degli elementi di \( \displaystyle \Omega \) non fissati da \( \displaystyle g \) . Definiamo \( \displaystyle \mu(G) \) come il minimo dei \( \displaystyle |\text{supp}(g)| \) quando \( \displaystyle g \) varia in \( \displaystyle G-\{1\} \) .

1. Calcolare per esempio \( \displaystyle b(G) \) e \( \displaystyle \mu(G) \) quando \( \displaystyle G = C_n,\ S_n,\ A_n \) nell'azione naturale su \( \displaystyle \{1,...,n\} \) e di \( \displaystyle \text{GL}(m,q) \) nell'azione naturale su \( \displaystyle {\mathbb{F}_q}^m-\{0\} \) .

2. Date le notazioni di cui sopra dimostrare che \( \displaystyle \mu(G) \cdot b(G) \geq |\Omega| \) .

Fonte: esercizi di Martin Liebeck alla scuola estiva di teoria dei gruppi a Venezia. Conosco una soluzione.

Note: il primo punto e' standard, per fare il secondo bisogna avere qualche buona idea, ma non sono richieste nozioni particolari oltre a quelle esposte (e' richiesta solo un po' di confidenza con le azioni dei gruppi).

Ma per azione naturale cosa intendi?

j18eos ha scritto:Ma per azione naturale cosa intendi?

Ogni sottogruppo \( \displaystyle H \) di \( \displaystyle S_n \) agisce sull'insieme \( \displaystyle \{1,...,n\} \) nel seguente modo ovvio ("naturale"):

\( \displaystyle H \times \{1,...,n\} \to \{1,...,n\} \) ,
\( \displaystyle (\sigma,i) \mapsto \sigma(i) \) .

Scrivendo \( \displaystyle C_n \) intendo per esempio il sottogruppo di \( \displaystyle S_n \) generato dal \( \displaystyle n \) -ciclo \( \displaystyle (1...n) \) .

Mi sembrava troppo banale ecco perché l'ho chiesto!

Inizio a rispondere al caso in cui \( \displaystyle G=C_n \) !

Sia \( \displaystyle C_n=\langle c\rangle=\{c^k\in C_n\mid k\in I_0^{n-1}\} \) (1)(2), volendo considerare l'azione naturale \( \displaystyle \alpha \) di \( \displaystyle C_n \) su \( \displaystyle \Omega=I_1^n \) , a meno d'equivalenze, essa è: \( \displaystyle \alpha:\forall c^k\in C_n\rightarrow\dot\exists (1\hdots n)^k\in S_{\Omega}=S_n \) .

Risulta che \( \displaystyle \forall k\in I_1^{n-1},\,\mathrm{supp}(\alpha(c^k))=\Omega \) , quindi \( \displaystyle \mu(C_n)=n,\,b(C_n)=1 \) (3); in quanto ogni \( \displaystyle \alpha(c^k)\neq\iota_{\Omega} \) non fissa nessun elemento.

§§§

(1) L'elemento \( \displaystyle c \) è un generatore di \( \displaystyle C_n \) !

(2) In questo post e nei successivi pongo \( \displaystyle \forall a
(3) Per l'escluso caso che sia \( \displaystyle \Omega=\{1\} \) è \( \displaystyle S_1=\{\iota_{\{1\}}\} \) , quindi: \( \displaystyle S_1-\{\iota_{\{1\}}\}=\emptyset \) e \( \displaystyle \mu(C_1) \) non è definito.

Continuo a rispondere al caso in cui \( \displaystyle G=S_n \) , indicata con \( \displaystyle \beta \) l'azione naturale di \( \displaystyle S_n \) su \( \displaystyle \Omega=I_1^n \) , si ha che essa è un suo automorfismo di \( \displaystyle S_n \) (1) ed, a meno d'equivalenze, è \( \displaystyle \beta:\forall\sigma\in S_n\rightarrow\dot\exists\sigma\in S_n \) .

A differenza di prima, \( \displaystyle \mu(S_n)=2 \) per la presenza dei 2-cicli o trasposizioni (2), \( \displaystyle b(S_n)=n-1 \) in quanto una permutazione potendo spostare un solo elemento lo fissa per il suo essere una funzione biettiva.

§§§

(1) Dovendo essere \( \displaystyle \beta\in\mathrm{Hom}(S_n;S_n) \) ed una immersione del sostegno di \( \displaystyle S_n \) in se. Aggiungo che \( \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}-\{6\},\,\mathrm{Aut}S_n\cong S_n;\,\mathrm{Aut}S_6\cong C_2\ltimes S_6 \) .

(2) Come li si voglia chiamare!

Dovresti modificare dicendo che \( \displaystyle \mu(G)=\exists\iff G\neq\{1\} \) oppure conviene porre per definizione \( \displaystyle \mu(\{1\})=0 \) ? Oppure ho solo sclerato?

Nella (remota) ipotesi che non stia sclerando dovrebbe essere \( \displaystyle \mu(G)\cdot b(G)\geq|\Omega|:G\neq\{1\} \) !

Hai ragione, ho modificato. Grazie

Prego!

Sia \( \displaystyle G=\mathbb{A}_n \) , si indichi con \( \displaystyle \gamma \) l'azione naturale di \( \displaystyle \mathbb{A}_n \) su \( \displaystyle \Omega=I_1^n \) , a meno d'equivalenze, essa è: \( \displaystyle \gamma:\forall\sigma\in\mathbb{A}_n\rightarrow\dot\exists\sigma\in S_n \) .

In questo caso \( \displaystyle \mu(\mathbb{A}_n)=3 \) a causa dei 3-cicli, mentre \( \displaystyle b(\mathbb{A}_n)=n-2 \) ; le spiegazioni in spoiler visto che si deve un pò ragionare!

In particolare si ritrova che \( \displaystyle \mathbb{A}_3\simeq C_3,\,b(\mathbb{A}_3)=1=b(C_3) \) .

OUT OF SELF: Il mio sesto senso ha ragione; ora si inizia a ballare!