No analisi complessa: $int_-pi^pi 1/(2-cos(x))=pisqrt(4/3)$

[carlo23]

$int_-pi^pi 1/(2-cos(x))=pisqrt(4/3)$

Ho trovato una dimostrazione che non fa uso dell'analisi complessa, (tipo teorema dei residui o simili) ammetto che essa può rimanere una curiosità... ma la posto lo stesso magari qualcuno la trova interessante.

Dimostrazione

Per Taylor si ha

$1/(2-y)=sum_(n=0)^infty y^n/(2^(n+1))$

da cui sostituendo $y=cosx$

$1/(2-cos(x))=sum_(n=0)^infty (cos^nx)/(2^(n+1))$

adesso è facile ricavare tramite la formula per la potenza di un binomio e la formula di Eulero per coseno che

$cos^(2n+1)x=1/4^n sum_(k=0)^(n) ((2n+1),(k))cos(2n+1-2k)x$

$cos^(2n)x=1/4^n((2n),(n)) + 1/4^n sum_(k=0)^(n-1) ((2n),(k))cos(2n-2k)x$

quindi cos^(2n+1)x è una funzione di coseni mentre cos^(2n)x è una funzione di coseni più una costante.
Allora si ha

$1/(2-cos(x))=sum_(n=0)^infty 1/(2xx16^n)((2n),(n))+sum_(n=0)^infty a_ncosnx$

dove tutte le costanti sono state raggruppate nella prima sommatoria e i coefficienti $a$ sono calcolabili (ma ciò non è necessario alla dimostrazione) e $<infty$. Quest'ltima espressione rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier di $1/(2-cos(x))$ quindi dalle formule per il calcolo dei coefficienti di Fourier si ha

$1/pi int_-pi^pi dx/(2-cos(x))=sum_(n=0)^infty 1/16^n((2n),(n))$

e utilizzando la funzione generatrice di $((2n),(n))$

$1/sqrt(1-4x)=sum_(n=0)^infty x^n((2n),(n))$

con $x=1/16$ si ottiene il risultato:

$int_-pi^pi 1/(2-cos(x))=pisqrt(4/3)$

Tutto senza analisi complessa!!
Sarebbe bello se riuscissi a generalizzare questo metodo, sono felice di scambiare con chiunque idee in proposito.

[david_e]

Che bella questa dimostrazione!

Tira in ballo:
1. Serie di Taylor
2. Formula di Eulero
3. Formula di Newton
4. Serie di Fourier
5. OGF

Complimenti carlo23!

Generalizzare questo metodo comunque mi sembra abb. difficile, ma l'idea di usare la formula dei coefficienti di Fourier per trovare il valore di un integrale incognito e' molto interessante!