Re: Gruppi con un dato numero di sottogruppi

Messaggioda paolo.papadia » 20/05/2011, 23:32

Martino ha scritto:Ho il forte sospetto che \( \displaystyle \mathcal{G}_5^{\ast}=\emptyset \)

un mio amico ha pensato a $ZZ_2xxZZ_4$, ha 5 sottogruppi propri; ho pensato di dirtelo nel caso non ti fosse piu venuto in mente
paolo.papadia
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 65 di 176
Iscritto il: 11/02/2011, 18:20

Re: Gruppi con un dato numero di sottogruppi

Messaggioda Martino » 21/05/2011, 00:47

paolo.papadia ha scritto:un mio amico ha pensato a $ZZ_2xxZZ_4$, ha 5 sottogruppi propri; ho pensato di dirtelo nel caso non ti fosse piu venuto in mente
\( \displaystyle \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \) ha sei sottogruppi propri non banali (quindi in totale otto sottogruppi), non cinque. Ci sono infatti tre sottogruppi di ordine 2, due sottogruppi ciclici di ordine 4 e un sottogruppo isomorfo a \( \displaystyle \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \) .

In realtà credo che non ci siano gruppi non ciclici con esattamente cinque sottogruppi propri non banali. Penso di averlo anche dimostrato :)
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 4207 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Messaggioda paolo.papadia » 21/05/2011, 10:12

lol,mea culpa :-( (non avevamo contato il sottogruppo isomorfo al trirettangolo)
la dimostrazione l'ho guardata ma è troppo complicata per me, andrò di fiducia XD
comunque che cosa poco intuitiva che esistono n tali che non esistono gruppi ciclici con n sottogruppi.. a questo punto viene da chiedersi quali siano questi n,se sono finiti o infiniti.. ma questo mi sembra molto difficile da controllare
paolo.papadia
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 66 di 176
Iscritto il: 11/02/2011, 18:20

Messaggioda Martino » 21/05/2011, 10:26

paolo.papadia ha scritto:a questo punto viene da chiedersi quali siano questi n,se sono finiti o infiniti.. ma questo mi sembra molto difficile da controllare
Questa è una domanda interessante! :D
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 4208 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Messaggioda j18eos » 24/06/2011, 12:08

Considerato un gruppo \( \displaystyle G \) non ciclico di ordine \( \displaystyle p^2\mid p\in\mathbb{P} \) , esso è costituito da \( \displaystyle p^2-1 \) elementi distinti dall'elemento neutro, ogni suo sottogruppo (proprio) non banale è ciclico di ordine \( \displaystyle p \) quindi ha \( \displaystyle p-1 \) elementi distinti dall'identità, da ciò \( \displaystyle \frac{p^2-1}{p-1}=p+1 \) e \( \displaystyle G \) ha \( \displaystyle p+1 \) sottogruppi propri non banali!

Convince?
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 2508 di 13399
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, Trieste, ed ogni tanto a Roma ^_^

Re: Gruppi con un dato numero di sottogruppi

Messaggioda sirio.faber » 04/02/2017, 22:16

Martino ha scritto:
Martino ha scritto:2. Per mostrare che \( \displaystyle G \) è finito basta trovare un sottogruppo proprio \( \displaystyle H \) di indice finito, dato che in questo caso questo sottogruppo avendo meno di \( \displaystyle n \) sottogruppi propri non banali è finito per ipotesi induttiva e \( \displaystyle |G|=|G:H| \cdot |H| \) . Chiamiamo \( \displaystyle H_1,...,H_n \) i sottogruppi propri non banali di \( \displaystyle G \) . Osserviamo che se un \( \displaystyle H_i \) è normale allora ha indice finito per ipotesi induttiva (dato che \( \displaystyle G/H_i \in \mathcal{G}_m \) per qualche \( \displaystyle m < n \) ). Possiamo quindi supporre che \( \displaystyle H_1,...,H_n \) non siano normali, in particolare \( \displaystyle G \) agisce (per coniugio) in modo non banale su \( \displaystyle \{H_1,...,H_n\} \) , e tale azione è fedele dato che l'unico sottogruppo normale proprio di \( \displaystyle G \) è \( \displaystyle \{1\} \) . In particolare \( \displaystyle G \) si immerge in \( \displaystyle \text{Sym}(n) \) quindi è finito.

potrei sbagliare,ma l'indice di H in G potrebbe essere infinito,quel prodotto non implica G finito, quindi non è detto che possiamo escludere i gruppi con un sottogruppo normale. In più l'azione per coniugazione per essere fedele deve avere rappresentazione con nucleo banale, e il nucleo è formato dagli elementi di G che lasciano invariati i sottogruppi sotto coniugio, come dico che è solo l'elemento neutro a farlo? Non chiedo che rimangano invariati per ogni g in G, che sarebbe l'equivalente di dire che sono normali, ma che esista almeno un g che li lasci invariati
sirio.faber
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 2
Iscritto il: 09/12/2011, 19:18

Re: Gruppi con un dato numero di sottogruppi

Messaggioda Martino » 05/02/2017, 01:27

sirio.faber, non capisco le obiezioni, il mio argomento è strutturato così: se esiste H di indice finito allora concludo usando $|G| = |G:H| |H|$, se non esiste H di indice finito allora i sottogruppi non banali sono tutti non normali (per l'argomento del quoziente che ho scritto) per cui il nucleo dell'azione che ho scritto dev'essere banale (essendo un sottogruppo normale proprio).
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 6707 di 13035
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Precedente

Torna a Pensare un po' di più

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite