Gruppi con un dato numero di sottogruppi

Messaggioda Martino » 14/02/2011, 23:33

Per ogni intero non negativo \( \displaystyle n \) indichiamo con \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) l'insieme dei gruppi con esattamente \( \displaystyle n \) sottogruppi propri non banali. Per esempio \( \displaystyle \mathcal{G}_0 \) consiste dei gruppi ciclici di ordine primo. Indichiamo con \( \displaystyle \mathcal{G}_n^{\ast} \) l'insieme dei gruppi non ciclici in \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) (sembra una costruzione artificiale, ma non credo che lo sia). Mi sono venute in mente un po' di domande.

1. Cosa possiamo dire di \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) quando \( \displaystyle n \) è piccolo? Per esempio cosa possiamo dire di \( \displaystyle \mathcal{G}_1 \) , \( \displaystyle \mathcal{G}_2 \) , \( \displaystyle \mathcal{G}_3 \) , \( \displaystyle \mathcal{G}_4 \) ?

2. E' vero che ogni \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) consiste di gruppi finiti?

3. E' vero che ogni \( \displaystyle \mathcal{G}_n^{\ast} \) è finito?

4. Esistono degli \( \displaystyle n \) per cui \( \displaystyle \mathcal{G}_n^{\ast}=\emptyset \) ?

Questa cosa mi è venuta in mente qui.

Ho corretto.
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Messaggioda mistake89 » 15/02/2011, 00:18

Credo, pensiero della prima ora, che i gruppi ciclici di ordine $p^2$ ci stiano in $G_1$. Se non sono ciclici sono di più. Pensiamo a $ZZ_2 \times ZZ_2$ allora questo ha $3$ sottogruppi propri di ordine $2$, anzi credo che in generale un gruppo di ordine $ZZ_n \times ZZ_n$ abbia $n+1$ sottogruppi propri. Però è solo un'idea veloce che mi son fatto.

In realtà mi affascina moltissimo il punto 4, ovviamente tutto oltre la mia portata :-D. Terminati questi esami proverò a pensarci un po' di più
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Re: Gruppi con un dato numero di sottogruppi

Messaggioda paolo.papadia » 15/02/2011, 01:08

molto interessante.. solo non capisco cosa intendi con finito,visto che per esempio abbiamo visto che \( \displaystyle \mathcal{G}_0 \) è infinito..
Martino ha scritto:3. E' vero che ogni \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) è finito?

secondo me \( \displaystyle \mathcal{G}_1 \) contiene solamente i ciclici di ordine $p^2$
(se un gruppo è di ordine $p^2$ o è ciclico o è prodotto di ciclici,se è prodotto di ciclici ha piu di un sottogruppo)
(se un gruppo è di ordine diverso da una potenza di un primo possiamo trovare almeno due sottogruppi grazie a silow)
invece se un gruppo è del tipo $p^n$ non sono sicuro che non possa aver solo un sottogruppo..pero mi sembra difficile..

per ogni $n$ \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) non può esser vuoto,contiene perlomeno i ciclici di ordine $P^(n-1)$

ma il punto che piu mi attirato è se \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) possa contenere insiemi infiniti.. secondo me no,proverò a dimostrarlo
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Messaggioda Martino » 15/02/2011, 10:15

paolo.papadia, accidenti hai ragione, dimenticavo i ciclici. Ora correggo.

PS. \( \displaystyle \mathcal{G}_1 \) e \( \displaystyle \mathcal{G}_2 \) sono accessibili, mentre \( \displaystyle \mathcal{G}_3 \) comincia a diventare interessante. :P
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Messaggioda paolo.papadia » 15/02/2011, 11:34

e se togli i ciclici diventa un gran casino.. a questo punto \( \displaystyle \mathcal{G}_1 \) dovrà esser vuoto,mentre \( \displaystyle \mathcal{G}_2 \) sembra che contenga solo i gruppi di ordine $p1*p2$.
secondo me il problema diventa piu accessibile cambiando approccio: prima si fissa la cardinalità del gruppo,poi si deducono tutti i vari \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) al quale può appartenere lavorando di sylow.


per quanto riguarda gli insiemi infiniti,ci ho pensato stanotte e secondo me nessuno sta in nessun \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) ;cioè ogni insieme infinito ha infiniti sottogruppi.(se esiste almeno un elemento con periodo non finito esso genera un sottogruppo isomorfo a Z,da cui risciamo a ricavarci tutti i sottogruppi che vogliamo;se invece tutti gli elementi hanno periodo finito,ne segue che devono esistere infiniti generatori(o il gruppo sarebbe finito) e ognuno di questi genera un sottogruppo ciclico proprio)

forse ho trovato qualcosa:sia n pari,allora \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) non è vuoto.
ad esempio contiene(se $n=2k$) il gruppo di ordine $p^(k+1)$ ottenuto come prodotto diretto di un ciclico di ordine $p$ e un ciclico di ordine $p^k$.
penso si possa dimostrare che il numero di sottogruppi(tutti) di un prodotto diretto di gruppi sia il prodotto del numero dei sottogruppi dei gruppi che devo combinare nel prodotto diretto; ad esempio i sottogruppi di $G=C1xxC2$ dove C1 è il ciclico di ordine $p^k$($k+1$ sottogruppi) e C2 è il ciclico di ordine $p$($2$ sottogruppi) saranno in totale $(k+1)*2=2k+2$. dobbiamo però sottrarre i banali;quindi ne abbiamo $2k$.


che voi sappiate la mia affermazione(il numero di sottogruppi del prodotto diretto fra A e B è pari al prodotto del numero di sottogruppi di A per il numero di sottogruppi di B) è un teorema? o è falsa? se salta fuori che è vera(proverò a dimostrarla) diventa facile mostrare che per ogni n diverso da un numero del tipo $p-2$(dove $p$ è primo) allora \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) è non vuoto.


EDIT:(confermo che la mia supposizione sul numero di sottogruppi di un prodotto diretto è vera,si dimostra banalmente per assurdo.)
a questo punto gli unici \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) che posson dar problemi sono quelli con $n=p-2$,e qui inizia il vero casino XD
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Messaggioda Martino » 15/02/2011, 13:36

paolo.papadia ha scritto:se invece tutti gli elementi hanno periodo finito,ne segue che devono esistere infiniti generatori(o il gruppo sarebbe finito)
Potresti spiegarti meglio? Il fatto che un gruppo ammetta un numero finito di generatori non implica che sia finito.
ad esempio i sottogruppi di $G=C1xxC2$ dove C1 è il ciclico di ordine $p^k$($k+1$ sottogruppi) e C2 è il ciclico di ordine $p$($2$ sottogruppi) saranno in totale $(k+1)*2=2k+2$. dobbiamo però sottrarre i banali;quindi ne abbiamo $2k$.
Non direi, per esempio \( \displaystyle C_2 \times C_2 \) ha \( \displaystyle 3 \) sottogruppi propri non banali.
che voi sappiate la mia affermazione(il numero di sottogruppi del prodotto diretto fra A e B è pari al prodotto del numero di sottogruppi di A per il numero di sottogruppi di B) è un teorema? o è falsa?
E' falsa. Vedi per esempio \( \displaystyle C_2 \times C_2 \) . Però è vero nel caso in cui i due fattori hanno ordine coprimo.

Hai ragione che i pari (maggiori di 2) sono fuori, per esempio \( \displaystyle C_{2^k} \times C_3 \) ha 2k sottogruppi.
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Messaggioda paolo.papadia » 15/02/2011, 14:10

Martino ha scritto:
paolo.papadia ha scritto:se invece tutti gli elementi hanno periodo finito,ne segue che devono esistere infiniti generatori(o il gruppo sarebbe finito)
Potresti spiegarti meglio? Il fatto che un gruppo ammetta un numero finito di generatori non implica che sia finito.

ma se un gruppo ha un numero finito di generatori e ogni generatore ha periodo finito,non può essere infinito..possiamo trovare ad esempio l'elemento con il periodo maggiore $k$; e se in generatori sono $n$,possiamo dire che l'ordine del gruppo è senz'altro minore di $n!*n^k$(tutte le combinazioni lineari dei generatori)

Martino ha scritto:Non direi, per esempio \( \displaystyle C_2 \times C_2 \) ha \( \displaystyle 3 \) sottogruppi propri non banali.

ups,nella mia "dimostrazione" avevo implicitamente assunto che i due gruppi fossero coprimi :-(
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Messaggioda Martino » 15/02/2011, 15:25

paolo.papadia ha scritto:ma se un gruppo ha un numero finito di generatori e ogni generatore ha periodo finito,non può essere infinito..
Dici? Prendi per esempio queste due matrici (indico gli angoli in radianti).

\( \displaystyle \left( \begin{array}{cc} \cos(1) & \sin(1) \\ \sin(1) & -\cos(1) \end{array} \right) \) , \( \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \) .

Hanno entrambe periodo 2 (sono riflessioni). Il loro prodotto (nell'ordine dato),

\( \displaystyle \left( \begin{array}{cc} \cos(1) & -\sin(1) \\ \sin(1) & \cos(1) \end{array} \right) \)

è la rotazione di un radiante attorno all'origine, quindi ha periodo infinito. Quindi il gruppo che quelle due riflessioni generano è infinito.
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Messaggioda paolo.papadia » 15/02/2011, 18:42

... accidenti non me lo aspettavo..
pensavo fosse piu semplice dimostrare che un gruppo infinito ha infiniti sottogruppi
forse dovrei pensare un po di piu prima di classificare i miei ragionamenti come "dimostrazioni" XD
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Re: Gruppi con un dato numero di sottogruppi

Messaggioda Martino » 15/02/2011, 20:22

Martino ha scritto:2. E' vero che ogni \( \displaystyle \mathcal{G}_n \) consiste di gruppi finiti?
Ho pensato di fare così:

Per induzione su \( \displaystyle n \) . Il caso base è \( \displaystyle \mathcal{G}_0 \) , che consiste dei gruppi di ordine primo. Prendiamo ora \( \displaystyle n \) maggiore di zero e \( \displaystyle G \in \mathcal{G}_n \) . Per mostrare che \( \displaystyle G \) è finito basta trovare un sottogruppo proprio \( \displaystyle H \) di indice finito, dato che in questo caso questo sottogruppo avendo meno di \( \displaystyle n \) sottogruppi propri non banali è finito per ipotesi induttiva e \( \displaystyle |G|=|G:H| \cdot |H| \) . Chiamiamo \( \displaystyle H_1,...,H_n \) i sottogruppi propri non banali di \( \displaystyle G \) . Osserviamo che se un \( \displaystyle H_i \) è normale allora ha indice finito per ipotesi induttiva (dato che \( \displaystyle G/H_i \in \mathcal{G}_m \) per qualche \( \displaystyle m < n \) ). Possiamo quindi supporre che \( \displaystyle H_1,...,H_n \) non siano normali, in particolare \( \displaystyle G \) agisce (per coniugio) in modo non banale su \( \displaystyle \{H_1,...,H_n\} \) , e tale azione è fedele dato che l'unico sottogruppo normale proprio di \( \displaystyle G \) è \( \displaystyle \{1\} \) . In particolare \( \displaystyle G \) si immerge in \( \displaystyle \text{Sym}(n) \) quindi è finito.

Ho il forte sospetto che \( \displaystyle \mathcal{G}_5^{\ast}=\emptyset \) , ma la dimostrazione non sembra facilissima :D
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