Irrazionalità di $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$

da **carlo23** » 01/01/2006, 11:17

Dimostrare che

$sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$

è irrazionale.

PS scusate per il casino di prima :oops:

da **carlo23** » 01/01/2006, 15:36

Proprio nessuno riesce a dimostrarlo?

Ciao, ciao!

da **TomSawyer** » 01/01/2006, 16:20

Sembra interessante. Hai usato il metodo per assurdo?

da **carlo23** » 01/01/2006, 16:37

Crook ha scritto:Sembra interessante. Hai usato il metodo per assurdo?

Ho fatto così, noi sappiamo che se un numero è irrazionale in base 10 lo è anchè in base 5, in base 113...

Allora passiamo in base 2. Abbiamo che $1/(2^k)$ corrisponde a $0,00...001$ in binario, dove gli zeri tra la virgola e l'uno sono esattamente $k-1$.

Quindi la somma $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$ in binario è

0.1+
0.001+
0.00000001+
0.0000000000000001+
.............

la quale ha uno sviluppo illimitato e non periodico dato che la differenza $2^(n+1)-2^n$ cresce esponezialmente.

Ciao, ciao! :wink:

da **TomSawyer** » 01/01/2006, 16:39

Chiaro. Sei impressionante.

da **carlo23** » 01/01/2006, 16:40

Crook ha scritto:Chiaro. Sei impressionante.

Grazie!

da **TomSawyer** » 01/01/2006, 16:40

Per curiosità, ti incontrerai con qualche professore universitario?

da **carlo23** » 01/01/2006, 16:42

Crook ha scritto:Per curiosità, ti incontrerai con qualche professore universitario?

Il 7 e 8 gennaio mi dovrei incontrare con Luca Lussardi, con un pò di impegno siamo riusciti a organizzare!

da **TomSawyer** » 01/01/2006, 16:43

Ci farete sapere degli esiti degli incontri, spero.

da **carlo23** » 01/01/2006, 16:46

Crook ha scritto:Ci farete sapere degli esiti degli incontri, spero.

Si, si vi faremo sapere...

Il problema più difficile sarebbe dimostrare che

$sum_(n=1)^infty 1/(2^n-1)$

è irrazionale, non ci sono riuscito. Qualcuno ha qualche idea in proposito?

Irrazionalità di $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$

Irrazionalità di $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$

Re: Potenze di potenze di 2

Chi c’è in linea