Funzione polinomiale suriettiva $ZZ^m to NN$

[Martino]

Una funzione polinomiale \( \displaystyle f: \mathbb{Z}^m \to C \subseteq \mathbb{Z} \) è una funzione con la proprietà che esiste un polinomio \( \displaystyle P(X_1,...,X_m) \in \mathbb{Z}[X_1,...,X_m] \) tale che \( \displaystyle f(z_1,...,z_m) = P(z_1,...,z_m) \) per ogni \( \displaystyle z_1,...,z_m \in \mathbb{Z} \) .

La domanda che un amico mi ha posto qualche giorno fa è la seguente: qual è il minimo \( \displaystyle m \) per cui esiste una funzione polinomiale suriettiva \( \displaystyle \mathbb{Z}^m \to \mathbb{N} \) ?

Ricordando che ogni numero naturale è somma di quattro quadrati, possiamo asserire che questo minimo è al più \( \displaystyle 4 \) . Ma che dire di 2 e 3?

Non riesco a capire se si tratta di un problema "davvero" difficile, cosa ne pensate?

[maurer]

Se è per questo, ogni numero naturale è somma di tre numeri triangolari (cf. qui) e restringendoci a valori interi, \( \displaystyle \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \ge 0 \) , quindi il minimo è al più 3.

Sul 2 non so, al momento...

[gugo82]

Non credo di aver afferrato bene il punto della questione...
Infatti, non è vero che la funzione \(f:\mathbb{Z}\ni x\mapsto x\in \mathbb{N}\) è un'applicazione polinomiale suriettiva?

[Lemniscata]

Scusate l'ignoranza ma quella di Gugo è la funzione identica? Perché se così è, non mi pare una funzione di $ ZZ $ in $ NN $.

[gugo82]

Scusate l'ignoranza ma quella di Gugo è la funzione identica? Perché se così è, non mi pare una funzione di $ ZZ $ in $ NN $.

Infatti ho scritto una vaccata bella e buona... Scusate.
E grazie per avermelo fatto notare.

[Gi8]

Se è per questo, ogni numero naturale è somma di tre numeri triangolari (cf. qui) e restringendoci a valori interi, \( \displaystyle \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \ge 0 \) , quindi il minimo è al più 3

Perdonami, non ho ben capito.
L'insieme di partenza è $ZZ^3$, quindi possiamo prendere anche valori interi negativi.
Quale sarebbe questa funzione polinomiale?

[Martino]

Maurer, però il polinomio \( \displaystyle \frac{1}{2} x(x+1) + \frac{1}{2} y(y+1) + \frac{1}{2} z(z+1) \) non è in \( \displaystyle \mathbb{Z}[X,Y,Z] \) . Ma forse in effetti è un po' troppo restrittivo chiedere che i coefficienti del polinomio siano interi.

[maurer]

@Gi8: no, \( \displaystyle n(n+1) \ge 0 \) per ogni \( \displaystyle n \in \mathbb Z \) . La funzione a cui pensavo era quella suggerita da Martino.

Però hai ragione (e mi è venuto in mente mentre ero fuori stasera...), i polinomi vanno presi a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb Z \) . Ritiro quanto ho detto e torno a pensarci...

[Lemniscata]

Scusate l'ignoranza ma quella di Gugo è la funzione identica? Perché se così è, non mi pare una funzione di $ ZZ $ in $ NN $.

Infatti ho scritto una vaccata bella e buona... Scusate.
E grazie per avermelo fatto notare.

Figurati Gugo, l'avresti di sicuro notato subito anche tu in un altro momento, quindi in realtà la mia correzione era del tutto inutile. Però mettimi nei miei panni: quando mi sarebbe capitata un'altra occasione così? Non capita tutti i giorni che un ignorantone come me corregga un genio! Così ho preso la palla al balzo