AlgLin: det(A^2+B^2) \ge det(AB-BA)

[DavidHilbert]

Lo stile è difficile da cambiare!

...diversamente dal nick! Che poi è lo stile a renderci autentici e vari, splendidamente diversi e concordemente opposti. Già, lo stile. Perché qualcuno ha detto - ed io qui lo ripeto! - che noi siamo ciò che scriviamo, e nel modo in cui lo scriviamo. Se sia vero o no, non so dirlo: so tuttavia che mi piace, tanto mi basta.

[leev]

Si ma il fatto è che se devo farmi 100 passaggi mentali per spiegare un uguaglianza, non mi sembra sta gran prova...a quel punto enuncio ipotesi e affermazione e dico ke l'affermazione è la dimostrazione stessa...
O forse in questo caso mi sfuggono altre basi che permettono di concludere quelle cose cosi semplicemente...in tal caso se qualcuno me le citasse lo apprezzerei molto.

ciao!

[leev]

vabbé...ke mistero sia allora...

[DavidHilbert]

Mosso a pietà, vi rispondo! Siano $n > 0$ un intero ed $A, B \in \mathbb{C}^{n,n}$. Per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$, poniamo $P(\lambda) := det(A + \lambda B)$. E' ovvio allora che $P(\cdot)$ è un polinomio di grado $\le n$ nella variabile $\lambda$ a coefficienti complessi, perciocché esistono $\alpha_0, \alpha_1, ..., \alpha_n \in \mathbb{C}$ tali che $P(\lambda) = \sum_{k=0}^n \alpha_k \lambda^{n-k}$, identicamente in $\mathbb{C}$. In particolare, si trova (non serve neanche un conto!) che $\alpha_0 = det(B)$ ed $\alpha_n = det(A)$. A vous...