TdN: esiste $c_k > 0$ t.c. $\tau(n) \le c_k n^k$

[HiTToLo]

Provare che, per ogni reale $r >0$, esiste una costante $c_r > 0$ tale che, comunque sia dato $k \in \mathbb{Z}^+$: $\tau(k) \le c_r k^r$, dove $\tau(\cdot)$ denota qui la funzione che ad ogni $k \in \mathbb{Z}^+$ associa il numero dei suoi divisori interi positivi.

N.B.: il bound suggerito dal problema non è certo il migliore dei possibili. Ma il fine dell'esercizio è ben preciso (click!), per cui... Vi invito caldamente a mettere da parte la TdN analitica e di affrontare la questione in termini esclusivi di TdN elementare. Detto in altri termini, lasciate pure fermi nel cassetto i vostri vari Apostol, Chen, Sierpinski & Co...

EDIT: corretto il titolo.

[carlo23]

Abbiamo che

$tau(n)<=2sqrt(n)$


infatti se diciamo che $N$ è il numero di interi $d<=sqrt(n)$ tali che $d|n$ allora possiamo fare questa osservazione:

Se $d<sqrt(n)$ e $d|n$ allora esiste $a$ tale che $a>sqrt(n)$ e $a|n$, ora $a$ ha al massimo un divisore $>sqrt(n)$ altrimenti si avrebbe $a>n$,
quindi tutti i divisori di $n$ minori uguali a $sqrt(n)$ sono $N$ e i divisori di $n$ maggiori uguali a $sqrt(n)$ sono al massimo $N$, uno per ogni divisore $<sqrt(n)$.
Essendo $N<=sqrt(n)$ segue la tesi. Questo risolve il problema di Hitleuler per $r>1/2$.

Spero di non essere stato contorto, semmai mi spiego meglio...

EDIT: ecco, ho riscritto in modo molto più sintetico e comprensibile

Essendo che

$tau(n)=sum_(a|n ^^ d<=sqrt(n)) 1 + sum_(b|n ^^ d>sqrt(n)) 1

ora ogni $b$ che pesa nella somma di destra pesa anche nella somma di sinistra infatti dato che $b|n$ e $b>sqrt(n)$ allora esiste $a=n/b$ con $a|n$ e $a<=sqrt(n)$, quindi la somma di destra è $<=$ a quella di sinistra che è al massimo $=sqrt(n)$, da cui il risultato.

Questo risolve il problema di Hitleuler per $r>1/2$.

Ciao!

[ficus2002]

Se $k=prod_{n=1}^{N}p_n^{alpha _n}$ con $p_n$ primi distinti e $alpha_n in NN$ positivi allora $tau(k)=prod_{n=1}^{N}(1+alpha _n)$
ciò è dovuto al fatto che $tau$ è moltiplicativa e per ogni $p$ primo e $alpha in NN$ positivo è $tau(p^alpha)=1+alpha$.

Per $r in RR$ positivo dobbiamo maggiorare con una costante
${tau(k)}/{k^r}=prod_{n=1}^{N} {1+alpha _n}/{p_n^{r alpha _n}}$
al variare di $k in NN$. Discutiamo per quali valori di $alpha$ e $p$, i fattori della produttoria sono $<1$.

Dalla relazione:
${log(1+alpha)}/{alpha} 1/{log p}<r$
si deduce che, tranne al più un numero finito di valori di $p$ e $alpha$, è $1+alpha <p^{r alpha}$
(infatti la funzione ${log(1+alpha)}/{alpha} 1/{log p}$ è limitata per $alpha, p in NN$)
Di conseguenza esistono due sottoinsiemi finiti $A,P subset NN$ tali che $1+alpha >= p^{r alpha}$ se e solo se $alpha in A$ e $p in P$

Ponendo $c_r=prod _{alpha in A, p in P}{1+alpha }/{p^{r alpha}}$, è
${tau(k)}/{k^r}=prod_{n=1}^{N} {1+alpha _n}/{p_n^{r alpha _n}}<=c_r prod_{1+alpha_n<p_n^{r alpha_n}} {1+alpha _n}/{p_n^{r alpha _n}}$
poichè i termini della produttoria sono $<1$ allora la produttoria è minorata da $1$, quindi
${tau(k)}/{k^r}<c_r$

[HiTToLo]

Essendo che $tau(n)=sum_(a|n ^^ d<=sqrt(n)) 1 + sum_(b|n ^^ d>sqrt(n)) 1$

...semmai $a \le \sqrt{n}$ e $b > \sqrt{n}$, agli indici di somma! E perché poi non levi via il superfluo - intendo a dire tutta la prima metà del post?! Credo fermamente che la leggibilità del tuo intervento potrebbe soltanto trarne beneficio...

[...] Questo risolve il problema di Hitleuler per $r>1/2$.

...peccato che il caso $r > 1/2$ sia scarsamente interessante ai fini della risoluzione del problema (click!) per cui, qualche giorno addietro, mi ero giusto risolto di aprire questo thread. Tanto più che - in my (not very) humble opinion! - una dimostrazione incompleta non vale neppure la fatica del suo revisore.

[HiTToLo]

@ficus2002: ok, una soluzione inappuntabile.