Messaggioda Thomas » 23/04/2006, 16:18

ah Giuseppe87x...io ho abbandonato già da tempo l'ambizione di trovare una soluzione semplice... mi pare che puoi postare la tua, per completezza :wink: ... questo topic è rimasto aperto per tutta pasqua oramai... se qualcuno avesse voluto rispondere, l'avrebbe già fatto!! :lol:

ciao!
Thomas
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Re: Relazioni funzionali bis

Messaggioda DavidHilbert » 23/04/2006, 17:54

giuseppe87x ha scritto:Si dimostri, senza utilizzare la calcolatrice che:

$sum_(k=1)^9((k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

Scusate tanto, eh... Ma quel 9,5 non vi sembra un tantino largo, come bound?! :shock: Perciò com'è che ancora non l'avete risolto?! E poi quali stime integrali... -_-"
DavidHilbert
 

Messaggioda Thomas » 23/04/2006, 18:46

beh...caro DavidHilbert... ci sono anche almeno altri 2 metodi qualitativamente diversi che ho proposto senza stime integrali (che per altro hanno il loro senso di esistere), uno più algebrico ed uno più geometrico. Quelle sono le mie soluzioni. e voglia di cercarne altre non ne ho. Se vuoi proporre la tua sei ben accetto, no?

In quanto alla domanda, beh... no, non lo trovo alto come bound...

saluti
Thomas
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Messaggioda DavidHilbert » 23/04/2006, 19:18

Boh, vorrà dire che ho le allucinazioni... La funzione $f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ $: x \to x^{1/2}$ è concava, e perciò - dalla disuguaglianza di Jensen: $57/20 + \sum_{k=1}^9 x^{1/2}/10 = 57/20 + 9/10 \cdot \sum_{k=1}^9 f(k)/9 \le 57/20 + 9/10 \cdot f(\sum_{k=1}^9 k/9) = 57/20 + 9/10 \cdot \sqrt{5} < 5$. Ancora convinto che non sia un tantino largo, quel bound lassù? 8-)
DavidHilbert
 

Messaggioda Thomas » 23/04/2006, 19:40

wow la dis di jensen... quanto tempo che non la vedevo :lol: ... non me la ricordo nemmeno bene a dire il vero... in effetti però forse me la riguardo. Alla fine era solo convessità se ben ricordo...

Guarda a me la somma fatta a mano viene $8.906$ (abbondo con i decimali 8-) )... se non ho sbagliato...

ed in realtà si dimostra velocemente che è maggiore di $57/20*2=5.7$ :(
Thomas
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Messaggioda DavidHilbert » 23/04/2006, 19:58

Eh, abbonda, abbonda pure... :lol:
DavidHilbert
 

Messaggioda giuseppe87x » 24/04/2006, 18:29

Eccomi ritornato... :)

Thomas ha scritto:ah Giuseppe87x...io ho abbandonato già da tempo l'ambizione di trovare una soluzione semplice... mi pare che puoi postare la tua, per completezza Wink ... questo topic è rimasto aperto per tutta pasqua oramai... se qualcuno avesse voluto rispondere, l'avrebbe già fatto!! Laughing


Thomas io non ho una soluzione semplice per questo problema però il testo da dove l'ho preso mi suggeriva di sfruttare la simmetria tra le due funzioni; quindi ho creduto che ci fosse un metodo più semplice delle solite stime integrali per risolvero, per questo ho chiesto qui sul forum. A questo punto credo che il tuo metodo geometrico possa andare bene però il fatto stesso che il quesito fosse situato in un capitolo in cui si parla di funzioni lascia intuire che esista una soluzione alternativa a quelle che abbiamo proposto finora.
Ciao
giuseppe87x
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Messaggioda DavidHilbert » 24/04/2006, 18:40

DavidHilbert ha scritto:La funzione $f: [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ $: x \to x^{1/2}$ è concava, e perciò - dalla disuguaglianza di Jensen: $57/20 + \sum_{k=1}^9 x^{1/2}/10 = 57/20 + 9/10 \cdot \sum_{k=1}^9 f(k)/9 \le 57/20 + 9/10 \cdot f(\sum_{k=1}^9 k/9) = 57/20 + 9/10 \cdot \sqrt{5} < 5$.

giuseppe87x, yu-uuuh?! Ci sei? Ce la fai?? Sei connesso??? :-D
DavidHilbert
 

Messaggioda giuseppe87x » 24/04/2006, 19:39

Ah scusa, ho letto il post di Thomas e ho subito risposto, poi ho abbandonato il topic.

Hai detto bene, quel bound è tanto e tu con Jensen sei arrivato a dire che la sommatoria è addirittua minore di 5. Ebbene questa secondo me è l'ulteriore prova che non è necessario andare a scomodare Jensen e che esiste un metodo semplice semplice, meno preciso, in questo caso della disuguaglianza di Jensen, ma che permetta subito di dimostrare la tesi. Sbaglio??
giuseppe87x
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Messaggioda DavidHilbert » 24/04/2006, 20:29

giuseppe87x ha scritto:Sbaglio??

Esiste di sicuro. Ma non è escluso che sia indimostrabile provarlo. :-D A proposito... Sapete - no!? - che in questi giorni ricorre il centenario della nascita di Goedel?
DavidHilbert
 

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