$sum_(k=1)^9((k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

[giuseppe87x]

Si dimostri, senza utilizzare la calcolatrice che:

$sum_(k=1)^9((k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

[Thomas]

Ho una sol brutta con stime integrali e somme dei primi n quadrati (ma applicabile a mano)...

Non la posto perchè è un pò fuori luogo... ditemi cmq se la volete...

byez

[eafkuor]

Si dimostri, senza utilizzare la calcolatrice che:

$sum_(k=1)^9(k/10)^2+sqrt(k/10))<9,5$

$sum_(k=1)^9(k/10)^2=((9(9+1)(2*9+1))/6)(1/100)=285/100=57/20$

$sum_(k=1)^9sqrt(k/10)<sum_(k=1)^9(k/10)=18/5$

quindi

$sum_(k=1)^9(k/10)^2+sqrt(k/10))<18/5+57/20<9,5$

[Thomas]

$sum_(k=1)^9sqrt(k/10)<sum_(k=1)^9(k/10)=18/5$

ci sono 2 errori nella seconda stima:

1- il segno và invertito (se esegui la radice quadrata di un numero minore di uno il numero aumenta);

2- la somma fà $45/10$;

[giuseppe87x]

Non sapete risolverlo diversamente?

[eafkuor]

(se esegui la radice quadrata di un numero minore di uno il numero aumenta);

Eh si, errore di distrazione

[giuseppe87x]

Ragazzi se osservate che $sqrt(k/10)$ è la funzione inversa di $(k/10)^2$, non vi viene proprio niente in mente?

[Thomas]

Boh...ci penserò Giuseppe...
intanto mi è venuta in mente una soluzione senza integrali. Per $x<1$

$sqrt(x)=x+(sqrt(x)-x)=x+(x-x^2)/(sqrt(x)+x)<x+(x-x^2)/(2x)=$

$=x/2+1/2$

da cui posso stimare la seconda sommatoria:

$sum_(k=1)^9$ $(sqrt(k/10))<0.4+sum_(k=2)^9$ $(sqrt(k/10))$

$<0.4+(4.5-0.1)/2+0.5*8= 6.6$

(utilizzando anche calcoli di Eaufkuor, ho stimato a parte il primo termine dalla sommatoria perchè dava fastidio)

La prima sommatoria si calcola in modo esatto e fà $2.85$.

$6.6+2.85<9.5$....

Penserò anche alle inverse prima o poi... può essere utile che il grafico dell'inversa è il simmetrico rispetto alla bisettrice?

[giuseppe87x]

Penserò anche alle inverse prima o poi... può essere utile che il grafico dell'inversa è il simmetrico rispetto alla bisettrice?

Esattamente

[Thomas]

Uffi.... Giuseppe proprio non mi viene... però mi sto avvicinando, credo... pian piano eh... ecco un'altra sol, un pò più grafica ora... non usa integrali, ma derivate si ........ lo so che c'è la sol di una riga... ma oramai non c'ho più la poca mano che avevo con questi esercizi...



Disegno le 2 funzioni $y=x^2$ e $y=sqrt(x)$ sul piano cartesiano. Si origina un quadrato. La sommatoria può essere vista come lunghezza di alcuni segmenti.

Per esempio prendiamo il settimo termine. Questo equivale a prendere l'ascissa $0.7$ (chiamiamo il punto sulle ascisse $A$), a tracciare la verticale che incontra in due punti (chiamiamo $B$ e $C$) le due curve (simmetriche rispetto alla bisettrice) e che incontra in $D$ la parallela all'asse delle ascisse passante per $(0,1)$. Ora il settimo termine della sommatoria equivale ad $AB+AB+CB=(1+AB-CD)$ (*).
Si noti che grazie alla simmetria CD può anche essere ottenuto tracciando la parallela all'asse delle ascisse passante per $(1,0.7)$ e vedendo dove incontra la funzione $y=x^2$.

Facendo il disegno e sommando nove relazioni come (*) si ottiene Sommatoria = 9 + (somma segmenti verticali con inizio in $(0.k,0)$ e con termine nell punto in cui incontrano la funzione $y=x^2$) - (somma dei segmenti orizzontali con primo estremo in $(1,0.k)$ e secondo estremo nel punto in cui incontrano $y=x^2$). Con $k$ che varia da 1 a 9.

La lunghezza dei segmenti verticali è $2.85$, come si calcola con metodi dei post precedenti.

La lunghezza dei segmenti orizzontali è maggiore di $0.6 + (0.1+0.2+...+0.8)/2=2.4$ (il primo segmento quello più lungo è stato stimato a mano, mentre la somma deriva dal fatto che la funzione $y=x^2$ ha derivata $2$ in $x=1$, tracciando la tangente si ricava facilmente una stima).

Mettendo assieme Sommatoria $< 9+2.85-2.4<9.5$.

E ora mi accorgo che tutto questo procedimento grafico è niente meno quello algebrico che ho fatto due post fà, nulla di più, nulla di meno (i calcoli sono esattamente gli stessi)..... Va bè... uff....