SISSA 2005/06

[Valerio Capraro]

Prendo questi esercizi dal test di ammissione alla SISSA del 2005/06
A richiesta metto le soluzioni dei primi 3 (gli altri 2 ancora non l'ho fatti):

1) Sia f:$(0,1)->R$ t.c. $lim_{x->0^+}f(x) = -\infty$. Mostrare che f non è convessa.

Il problema principale sta nel fatto che non si ha nessuna ipotesi su f.

2) Sia $A\subsetR^n$ tale che ogni funzioni continua da A in R risulti limitata. Mostrare che f è chiuso e limitato.

3) Sia P di classe 1 su R e tale che $P(x)>e^x\forall x\in[0,\infty)$ e sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy:

$y'+P(x)y = e^x$ con condizione y(0)=1.

Mostrare che $y(x)<1 \forall x>0$.

Questo penso si faccia facilmente scrivendo esplicitamente la soluzione del problema, ma magari si riesce a fare anche senza.

4) Sia $V=M_2(R)$ lo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate 2x2 e b:$VxV->R$ definita da $b(A,B)=tr(AB)$. Si dimostri che $b$ è bilineare simmetrica e se ne calcoli la segnatura.

questo lo metto più che altro perchè non mi ricordo una mazza di geometria analitica.

Per lo stesso motivo, metto il seguente:

5) Sia X l'insieme delle coniche passanti per i punti (-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1). Si trovi una conica in X passante per (2,3) e se ne discuta l'unicità. Si dica inoltre se X contiene parabole e se sì quali. Si dica infine se X contiene coniche tangenti alla retta di equazione $x=sqrt(2)$ e,se sì, quali.

[Thomas]

Vorrei provare una generalizzazione del numero 2 a spazi metrici. Uber leggila perfavore e dimmi dove stà l'errore ...

Premetto 2 lemmi, che sarebbero in realtà la parte principale, ma così spero sia più chiaro:

Lemma1: $A$ metrico. Sia $g:A->R$ continua. Preso $yinA$ e $MinR$, esiste una $f:A->R$ continua t.c.
- $f(y)=M$;
- $f$ coincide con $g$ ovunque tranne che in un intorno di $y$ arbitrariamente piccolo.

dim: Prendo $B(y,epsilon)$ e definisco:

$f(x):$
$=g(x) $ se $ d(x,y)>=epsilon$
$= g(x)+[epsilon-d(x,y)]*(M/epsilon) $ se $ d(x,y)<epsilon$

questa funzione rispetta le due condizioni, essendo l'intorno arbitrariamente piccolo una palla di raggio $epsilon$. Solo la continuità pone qualche problema. Tralascio questo passaggio per ora (ad occhio mi sembra ben continua, l'ho scritta apposta!, ma ci si può sempre confondere).

Lemma2: $A$ metrico. Sia $(x_n)$ una successione di punti di $A$ t.c. per ogni $x_i$ esiste $Ux_i$ aperto t.c. $Ux_i\cap(x_n)=x_i$ (ovvero l'intorno contenga solo un punto della successione) e $Ux_i\capUx_j=emptyset$ se $i!=j$. Si associ ad ogni $x_i$ un reale $y_i$. Allora esiste $f:A->R$ continua t.c. $f(x_i)=y_i$.

dim: per il lemma1 uno applicato ad ogni punto $x_i$. Il fatto che gli intorni non si intersechino garantisce che la funzione sia ben definita.

Prop: $A$ metrico. Se per ogni $f:A->R$ continua, $f$ è limitata $=> A$ è compatto.

dim: Per assurdo A non sia compatto. Ma $A$ è anche metrico e questo equivale a dire che esiste una successione $(x_n)$ che non ammette sottosuccessioni convergenti. In particolare, nessuno dei punti della successione sarà di accumulazione per la successione stessa, ovvero per ogni $x_i$ esiste $Ux_i$ aperto t.c. $Ux_i\cap(x_n)=x_i$. Ci si riconduca a $Ux_i = B(x_i,epsilon_i)$. Si considerino ora le palle $B(x_i,epsilon_i/2)$, che saranno per costruzione ad intersezione ad 2 a 2 non nulla (il dividere per 2 i raggi magicamente le separa ). Ora si associ ad ogni $x_i$ il valore $i$ e si applichi il lemma2. Si otterrà una funzione $f:A->R$ continua e non limitata. Contraddizione.


Boh...sono sempre meno convinto di quanto ho scritto... va bè... perlomeno mi sono un pò esercitato...

[DavidHilbert]

1) Sia f:$(0,1)->R$ t.c. $lim_{x->0^+}f(x) = -\infty$. Mostrare che f non è convessa.

Ammettiamo esista $0 < a < 1$ tale che, per ogni sottointervallo $[b,c] \subseteq (0, a]$, con $b < c$, $f$ sia convessa in $[b,c]$. Scelta comunque una successione monotona decrescente $\{x_n\}_{n \ge 0}$ di punti di $(0,a]$ che converge a $0$, per $n \to \infty$, si verifica allora che $\frac{f(x_n) - f(x_{n+1})}{x_n - x_{n+1}} \le \frac{f(x_0) - f(x_1)}{x_0 - x_1} = m$, e perciò $f(x_n) \ge m x_n + q$, per qualche $q \in \mathbb{R}$. Da qui l'assurdo, e quindi la tesi.

[Valerio Capraro]

@Thomas: a prima lettura sembra buona
@David: perchè risolvi sempre in due righe problemi che io risolvo in 20??? (forse perchè sei molto più bravo di me..)

che diavolo è la segnatura??

[DavidHilbert]

3) Sia P di classe 1 su R e tale che $P(x)>e^x\forall x\in[0,\infty)$ e sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy:

$y'+P(x)y = e^x$ con condizione y(0)=1.

Mostrare che $y(x)<1 \forall x>0$.

Ovviamente $y \in C^1(X)$, dove $X = [0, +\infty[$, con l'assunzione che $y'(0) := \lim_{x \to 0^+} y'(x)$. Se $y(t) = 1$, per qualche $t \in X$, allora $y'(t) = e^t - P(t) < 0$, per via delle ipotesi. Allora esiste un intorno $U_t$ nella topologia dei sottospazi indotta in $X$ da $\mathbb{R}$ euclideo tale che $y'(x) < 0$, se $x \in U_t$. Per assurdo, sia $u > 1$. Allora $\omega = $inf$\{x \in ]0, \infty[: y(x) = 1\}$ è ben posto, e ovviamente $\omega > 0$. Da qui $y'(0) > 0$, e quindi la conclusione che $y(u) = 1$ sse $u = 1$. Ne risulta che $y$ è strettamente decrescente, e quindi che $y(x) < y(0) = 1$, se $x > 0$.

[DavidHilbert]

Btw, non vedo che bisogno ci sia di supporre $P\in C^1([0, +\infty[)$. E' sufficiente la continuità, direi!

[Valerio Capraro]

sembra che basti la continuità..