"misurare" il disordine....

[boba74]

in effetti il coefficiente di correlazione non ha un gran significato geometrico nel nostro caso, perchè misura quanto siano legate linearmente 2 variabili (in questo caso verrebbe applicato "erroneamente" per legare tra loro le coordinate X e Y, considerate come 2 variabili). In un certo senso non è però del tutto sbagliato, perchè avere punti disposti in modo "ordinato" presuppone in effetti un certo legame tra le coordinate X e Y dei vari punti, ma non sempre perchè ad esempio posizioni simmetriche rispetto a un asse (e quindi in un certo senso "ordinate") tenderebbero ad avere effetti opposti e ad annullare il valore di R per il semplice fatto che si trovano in posizioni opposte rispetto a una direzione X o Y....

[boba74]

Resta il fatto che distinguere con un'unica misura allineamenti e vicinanza spaziale non mi sembra una cosa immediata.

Vero anche questo....
Magari però si potrebbero proporre 2 misure, una per la vicinanza spaziale (es. una distanza media) e una per gli allineamenti (non saprei in che modo) e magari combinarle in un qualche modo per ottenere una misura "composta" che assegni un valore di "ordine" maggiore per punti allineati e vicini, e minore per punti "sparpagliati" e poco allineati....

[DajeForte]

@Valerio: Se consideri la covarianza $Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y)]$ è un coefficiente che esprime la dipendenza lineare tra le due variabili X ed Y. In fatti il prodotto è positivo quando $(X-E[X])(Y-E[Y)]$ è positivo ovvero le due variabili tendono a stare nel primo e terzo quadrante; è invece negativo quando sono nel secondo e quarto quadrante. La divisione è fatta per dare una normalizazione e discende dalla disuguaglianza di CS.

Ha anche un significato di "angolo" come dici tu. Se infatti consideri le variabili a media 0 ed distribuite sulla circonferenza unitaria puoi pensare la covarianza come $E[cos(theta)sin(theta)]$ che rappresenterbbe una media angolature creata dalle due variabili. Se le variabili tendono ad assumere valori vicino agli assi la cov tende ad annullarsi, al contrario se vanno sulle direzioni a tangente -1,+1 tende ad assumere valori minori, maggiori.

@boba74: infatti non ti dicevo di considerare solo il coefficiente di correlazione; questo è un primo; potresti cercare di storpiare il coefficiente di correlazione; potresti poi considerare misure di variabilità (tipo varianza), altre misure di clusterizzazione, oppure cercare di definire un analogo del coefficiente di correlazione ma che cerchi di catturare se i punti sono su una circonferenza (la cosa più immediata è pensare se esiste un punto con distanze quasi costanti), oppure anche valutare misure che coinvolgano determinanti...

Diciamo che la questione è interessante, vedremo come si svilupperà. Bisogna però partire da un problema chiaro (in particolare di cosa sia ordine/disordine) per poter proporre misure e valutare suoi eventuali punti di forza/debolezza.

[hamming_burst]

[OT]
scusa l'OT boba74 ma ho una piccola domanda.

Ha anche un significato di "angolo" come dici tu. Se infatti consideri le variabili a media 0 ed distribuite sulla circonferenza unitaria puoi pensare la covarianza come $E[cos(theta)sin(theta)]$ che rappresenterbbe una media angolature creata dalle due variabili. Se le variabili tendono ad assumere valori vicino agli assi la cov tende ad annullarsi, al contrario se vanno sulle direzioni a tangente -1,+1 tende ad assumere valori minori, maggiori.

ma la visione "angolare" della Varianza/Covarianza è valida in generale o solo in questo particolare caso dell'argomento del post?
[/OT]

[Valerio Capraro]

Giusto qualche piccola osservazione, senza la pretesa di essere troppo rigorosi: come detto piu' o meno esplicitamente in precedenti post, non bisognerebbe considerare soltanto l'insieme dei punti nella loro globalita', ma anche sottoinsiemi, in maniera da cercare di cogliere "disordini locali". Una idea potrebbe essere quella di considerare tutte le partizioni dell'insieme $x_1,\ldots,x_n$ tali che ogni sottoinsieme sia formato da almeno tre punti (questo perche' in un punto o due punti, a mio avviso, ci sono troppe poche informazioni), definire una sorta di disordine di una partizione e provare a definire il disordine totale come il minimo dei disordini delle varie partizioni. Il disordine di una partizione dovrebbe essere il massimo dei disordini di ogni sottoinsieme della partizione. En passant, questa costruzione ricorda in qualche maniera l'entropia. Resterebbe da definire il disordine di un singolo insieme. Sia dunque $S$ un insieme finito contenente almeno tre punti e cerchiamo di definire il disordine $D(S)$. Servono due contributi, uno che da' una crescita quando i punti sono lontani e l'altro che da' una decrescita quando i punti sono allineati. A questo punto si potrebbe provare semplicemente a moltiplicare il diametro dell'insieme per il modulo del coefficiente di correlazione o qualche altra quantita' che e' nulla se i punti sono allineati e cresce a man mano che aumenta il grado di non-linearita' dei punti.

[boba74]

Giusto qualche piccola osservazione, senza la pretesa di essere troppo rigorosi: come detto piu' o meno esplicitamente in precedenti post, non bisognerebbe considerare soltanto l'insieme dei punti nella loro globalita', ma anche sottoinsiemi, in maniera da cercare di cogliere "disordini locali". Una idea potrebbe essere quella di considerare tutte le partizioni dell'insieme $x_1,\ldots,x_n$ tali che ogni sottoinsieme sia formato da almeno tre punti (questo perche' in un punto o due punti, a mio avviso, ci sono troppe poche informazioni), definire una sorta di disordine di una partizione e provare a definire il disordine totale come il minimo dei disordini delle varie partizioni. Il disordine di una partizione dovrebbe essere il massimo dei disordini di ogni sottoinsieme della partizione. En passant, questa costruzione ricorda in qualche maniera l'entropia. Resterebbe da definire il disordine di un singolo insieme. Sia dunque $S$ un insieme finito contenente almeno tre punti e cerchiamo di definire il disordine $D(S)$. Servono due contributi, uno che da' una crescita quando i punti sono lontani e l'altro che da' una decrescita quando i punti sono allineati. A questo punto si potrebbe provare semplicemente a moltiplicare il diametro dell'insieme per il modulo del coefficiente di correlazione o qualche altra quantita' che e' nulla se i punti sono allineati e cresce a man mano che aumenta il grado di non-linearita' dei punti.

ottimissimo spunto..... che purtroppo per mancanza di solide basi matematiche rischia di farmi perdere in un bicchier d'acqua....
E per questo mi chiedevo: possibile che questo problema non sia mai stato affrontato?

[Valerio Capraro]

Personalmente sono sicurissimo che ci sia qualcosa in letteratura. Possibilissimo che qualche variante dell'entropia di Boltzmann possa gia' essere utilizzata. Ma ho cominciato il mio primo intervento dicendo che i miei studi e la mia attivita' di ricerca vertono su cose completamente diverse, quindi non conosco la letteratura relativa a questo tipo di problemi, ma ho trovato la domanda interessante e degna di dedicarci qualche pensiero "for fun".

[mircoFN]

Salve, non sapevo in che sezione postare, come sempre ogni volta che comincio a lambiccarmi il cervello su problemi pratici cercando sempre un aspetto "matematico" senza averne le basi (o forse le avevo ma sono ormai dimenticate...).
Il problema è molto semplice:
dato uno spazio (supponiamo per semplicità una certa regione piana), che contiene un certo numero n di "oggetti" (di qualunque tipo, supponiamo per il momento semplici punti materiali, tutti identici tra loro). Ciascun oggetto occupa una posizione nello spazio (es. indicata con 2 coordinate). Analizziamone le disposizioni.
Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file, diremo che tali oggetti sono "ordinati" e disposti in modo "regolare". Se invece generiamo casualmente le coordinate di ciascun punto otterremo una disposizione del tutto casuale, che potrebbe essere altamente "disordinata" e "irregolare".
Domanda: esiste una definizione geometrica rigorosa dei termini "ordine-disordine" e "regolarità-irregolarità"?

Ritornando al quesito di partenza sul quale qualche tempo fa ho fatto alcune considerazioni. Ti posso dare quindi qualche spunto che spero ti sia utile. Quello che tu chiami 'massimo disordine' dei punti è in effetti definito campo di Poisson e rappresenta una distribuzione casuale dei punti nel piano con densità di probabilità uniforme. La distribuzione di Poisson è definita in modo che il numero atteso di punti che finiscono in una generica sotto-regione (misurabile) del tuo dominio è indipendente dalla forma della sotto-regione e direttamente proporzionale alla sua area. Per verificare che una distribuzione casuale di punti sia un campione di un campo di Poisson puoi applicare la statistica. Considera il tuo campione ed effettua una partizione della sezione in sotto-regioni per ognuna della quali calcoli la densità di punti. Puoi a questo punto avvalerti di un classico metodo di stima (per es. il chi-quadro o K-S) che permetta la verifica delle ipotesi.

Se vuoi approfondire, ma la questione è tutt'altro che elementare, ti consiglio di leggere i lavori di Salvatore Torquato (good luck!)

[DeppeP]

è un argomento difficile ma interessante! L'analogo' fisico è chiaramente il problema dell'irreversibilità.
In cerca di spunti, vi passo un bel link ad una dispensa circa il lavoro di Boltzmann sull'entropia ed il suo risultato maggiore, il teorema h..

http://tnt.phys.uniroma1.it/twiki/pub/T ... ani/BB.pdf

a presto

[sonoqui_]

Mi è venuto in mente questo esempio.
Consideriamo un contenitore cubico con un gas perfetto al suo interno che inizialmente si trova mettiamo in equilibrio o comunque abbia delle date condizioni iniziali delle particelle del gas di posizione e di velocità.
Il contenitore è munito di un setto, parallelo ad una delle facce del cubo, che lo separa in due parti e inizialmente il gas si trova solo in una delle due, mentre il setto viene istantaneamente eliminato.
Assumendo che gli urti con le pareti siano tali da conservare la componente tangente della velocità prima e dopo e di invertire quella perpendicolare alla parete, secondo le equazioni di Newton, ammesso di sapere con certezza che dall'istante iniziale entro un certo tempo almeno una particella andrà ad urtare la faccia del cubo che inizialmente è parallela al setto, il moto non è invertibile, perchè sicuramente il centro di massa del sistema di particelle accelera in verso opposto a tale faccia e, affinchè il sistema di particelle assumano le stesse posizioni iniziali è condizione necessaria che il centro di massa possa assumere la stessa posizione iniziale.
Questo si verifica notando che, anche se dopo un certo tempo si invertono le velocità, l'accelerazione del centro di massa mantiene sempre lo stesso verso opposto alla faccia.