da M.I. » 02/04/2017, 16:20
Provo a dare il mio (modestissimo) contributo. In fondo, dati \( \displaystyle N \) punti distinti \( \displaystyle x_1,x,2,\dots,x_N \) nel piano mi pare che la richiesta fosse solo di definire un "indice del disordine" di questi punti, ovvero di quanto si discostino da una disposizione su una griglia regolare. La distanza di \( \displaystyle x_n \) dal punto più vicino è
\( \displaystyle \ell_n = \min\{|x_m-x_n|:m=1.,\dots, N, m\ne n\} \) ,
per cui potrei definire il "disordine" dell'insieme di punti come il rapporto tra la distanza massima e la distanza minima,
\( \displaystyle s = \dfrac{\max\{\ell_n: n=1,\dots,N\}}{\min\{\ell_n:n=1,\dots,N\}} \) .
Se i punti sono disposti su una griglia ordinata (ovvero nel piano solo sui vertici di triangoli equilateri, quadrati o esagoni regolari), allora \( \displaystyle s=1 \) . Nell'esempio che era stato proposto con \( \displaystyle N=3 \) , in cui i tre punti erano \( \displaystyle x_1=(-1/a,0) \) , \( \displaystyle x_2=(1/a,0) \) e \( \displaystyle x_3=(0,a^2) \) , con \( \displaystyle a>0 \) (o qualcosa di molto simile), si avrebbe
\( \displaystyle s=\frac{\sqrt{a^6+1}}{a^2} \) .
che è illimitata superiormente ed è minima per \( \displaystyle a=1 \) (il minimo è \( \displaystyle \sqrt{2}>1 \) perché in questo caso non si ottiene mai un triangolo equilatero).
