Quando vale l'uguaglianza nella disuguaglianza triangolare?

[dissonance]

Riflettevo un po' sulla questione nel titolo e su alcuni annessi e connessi e vi propongo qualcosa, per curiosità.

Escludiamo il caso banale in cui uno dei due addendi \(\vec{a}, \vec{b}\) sia il vettore nullo. Allora, guardando il disegno



si capisce che la lunghezza di \(\vec{a}+\vec{b}\) può raggiungere la somma delle due lunghezze solamente se \(\vec{a}, \vec{b}\) sono direttamente proporzionali, ovvero \(\vec{a}=\gamma\vec{b}\) per un \(\gamma > 0\). Infatti è proprio così e la dimostrazione funziona in qualsiasi spazio a prodotto scalare, anche complesso e di dimensione infinita: presi vettori \(a, b\ne 0\), risulta

\[\lVert a+b\rVert^2=(a+b, a+b)=\lVert a\rVert^2+\lVert b \rVert^2+2 \Re e (a, b)\le \lVert a\rVert^2+\lVert b \rVert^2+2 \lVert a\rVert \lVert b \rVert=(\lVert a \rVert+\lVert b \rVert)^2; \]

e \(\Re e (a, b) < \lVert a \rVert\lVert b \rVert\) a meno che

\[\Re e (a, b) =\lvert (a, b) \rvert =\lVert a\rVert\lVert b \rVert;\]

ora la prima uguaglianza implica che \((a, b)=\lvert (a, b)\rvert\), ovvero che \((a, b) \ge 0\); la seconda invece (cfr. disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) implica che \(a\) e \(b\) sono linearmente dipendenti, e le due condizioni insieme implicano che \(a, b\) sono direttamente proporzionali. Concludiamo che, in uno spazio a prodotto scalare,

\[\tag{1} a \ne 0, b \ne 0,\ \lVert a+ b\rVert =\lVert a \rVert + \lVert b\rVert\quad \Leftrightarrow\quad a=\gamma b\ \ \text{per qualche}\ \gamma > 0.\]

La (1) potrebbe però fallire in presenza di norme non derivanti da un prodotto scalare. Ad esempio in \(\mathbb{R}^2\) munito della norma \(\lvert (x, y)\rvert_1=\lvert x \rvert+ \lvert y \rvert\), si ha

\[\lvert (1, 0)+(0, 1)\rvert_1=2=\lvert (1, 0)\rvert_1+\lvert (0,1)\rvert_1, \]

nonostante \((1, 0), (0, 1)\) non siano certo proporzionali. Oppure possiamo considerare lo spazio \(L^1(\mathbb{R})\): qui, comunque si prendano due funzioni \(f, g\ge 0\), risulta

\[\lVert f +g\rVert_1=\int_{-\infty}^{+\infty} (f+g)\, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} f\, dx+\int_{-\infty}^{+\infty} g\, dx=\lVert f\rVert_1+\lVert g\rVert_1, \]

anche se \(f\) e \(g\) non sono proporzionali.

La questione è collegata ad una proprietà geometrica degli spazi normati recentemente richiamata da Valerio Capraro in questo esercizio: quella di stretta convessità.

Definizione. Uno spazio normato \((E, \lVert \cdot \rVert)\) si dice strettamente convesso se, comunque si prendano due punti sul bordo della sfera unitaria, l'intero segmento che li congiunge (estremi esclusi) è contenuto nella parte interna della sfera stessa.

Infatti sussiste questa caratterizzazione:

Proposizione. Sia \((E, \lVert \cdot \rVert)\) uno spazio normato. Le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

1. \((E, \lVert \cdot \rVert)\) è strettamente convesso.
2. Vale la proprietà \((1)\).

dim. \(1 \Rightarrow 2\). Siano \(a, b \ne 0\) e tali che \(\lVert a + b \rVert=\lVert a \rVert+\lVert b\rVert\). Affermiamo che \(a\) e \(b\) sono linearmente dipendenti. Per provarlo, supponiamo per assurdo che così non sia, assumiamo senza perdita di generalità \(\lVert a \rVert=1\) e poniamo \(m=(a+b)/2\). Indichiamo con \(P\) l'intersezione della semiretta \(\{t m\}_{t \ge 0}\) con il segmento \(\{(1-\lambda) a + \lambda b/\lVert b \rVert\}_{\lambda \in (0, 1)}\):

Siccome \(a, b\) sono linearmente indipendenti si ha che \(t \frac{a+b}{2}=(1-\lambda)a+\lambda b /\lVert b \rVert\) se e solo se \(\lambda=\lVert b \rVert /(1+\lVert b \rVert), t=2\lambda / \lVert b \rVert\), per cui \(P=(a+b)/(1+\lVert b\rVert)\). Inoltre \(P\) giace sul segmento di estremi \(a\) e \(b/\lVert b \rVert\) e non è un estremo, quindi \(\lVert P\rVert < 1\), ovvero

\[\lVert a+b\rVert < \lVert a \rVert +\lVert b \rVert, \]

in contraddizione con l'ipotesi.

Esiste dunque \(z \in \mathbb{C}\) tale che \(a=zb\), perciò \(\lvert 1+z\rvert=1+\lvert z \rvert\). Siccome \((\mathbb{C}, \lvert \cdot \rvert)\) è uno spazio a prodotto scalare, per quanto osservato in precedenza ciò implica che \(z\) ed \(1\) sono direttamente proporzionali, ovvero che \(z > 0\).

\(2 \Rightarrow 1\) Siano \(a, b\) due vettori distinti tali che \(\lVert a \rVert =\lVert b \rVert=1\) e sia \(\lambda \in (0, 1)\). Vogliamo mostrare che
\[\tag{2} \lVert (1-\lambda)a+\lambda b\rVert <1.\]
Supponiamo per assurdo che la \((2)\) non si verifichi. Per la proprietà (1), la condizione (2) non si verifica se e solo se i due addendi sono direttamente proporzionali, ovvero se e solo se esiste \(\gamma > 0\) tale che \((1-\lambda)a=\gamma \lambda b\). Quindi in particolare \(a\) e \(b\) devono essere linearmente dipendenti, diciamo \(b=za\) per un \(z \in \mathbb{C}\) di modulo unitario. Sostituendo nella \(\lVert a+b\rVert=\lVert a\rVert+\lVert b \rVert\) otteniamo \(\lvert 1+z\rvert=1+\lvert z\rvert\) e abbiamo visto che questo implica \(z >0\): perciò possiamo concludere che \(z=1\) arrivando alla contraddizione \(a=b\). ////

(continua...)

[dissonance]

Grazie alla caratterizzazione geometrica del post precedente, possiamo capire già ad occhio quali delle norme \(\ell^p\) (ma anche \(L^p\), con un po' di fantasia) siano strettamente convesse:

sono strettamente convesse tutte e sole le norme con \(1<p<+\infty\). Ecco spiegato il fallimento della proprietà \((1)\) relativamente alla norma \(\lVert \cdot \rVert_1\) osservato nel post precedente.

Se fosse tutto qui, tutto sommato non avremmo concluso un granché. La tavola precedente mostra che, almeno in \(\mathbb{R}^2\), esistono norme equivalenti strettamente convesse e non. La cosa in realtà è del tutto generale:

Teorema (Theorem 9, pag. 413 di [1]) Ogni norma di spazio di Banach separabile è equivalente ad una norma strettamente convessa.

Perciò sapere che una norma è strettamente convessa non ci porterà nulla di più della simpatica caratterizzazione del caso di uguaglianza nella disuguaglianza triangolare. Invece, sapere che la norma duale è strettamente convessa è una cosa più seria.

Teorema Sia \((E, \lVert\cdot\rVert)\) uno spazio normato. Detto \(E^\star\) lo spazio dei funzionali lineari limitati su \(E\), e detta \(\lVert f\rVert_{E^\star}=\sup_{x \ne 0} \lVert f(x)\rVert_E / \lVert x \rVert_E, \) le seguenti proposizioni sono equivalenti:

1. \((E^\star, \lVert \cdot \rVert_\star)\) è strettamente convesso.
2. Per ogni sottospazio vettoriale \(M\) di \(E\), vale l'unicità nel teorema di estensione di Hahn-Banach: una forma lineare \(\varphi \in M^\star\) ha un'unica estensione \(\psi \in E^\star\) tale che \(\lVert \psi\rVert_{E^\star}=\lVert \varphi\rVert_{M^\star}.\)

dim. \(1 \Rightarrow 2\). Se \(\varphi=0\) l'asserto è banalmente vero. Supponiamo quindi \(\varphi \ne 0\) e siano \(\psi_1, \psi_2 \in E^\star\) tali che \(\psi_1(x)=\psi_2(x)=\varphi(x)\) per ogni \(x \in M\) e inoltre \(\lVert \psi_1 \rVert_{E^\star}=\lVert \psi_2 \rVert_{E^\star}=\lVert \varphi \rVert_{M^\star}\). Allora, per \(0 \ne x \in M\),

\[2 \lvert \varphi(x)\rvert = \lvert (\psi_1+\psi_2)(x)\rvert \le \lVert \psi_1+\psi_2\rVert_{E^\star}\lVert x \rVert_E\le (\lVert \psi_1\rVert_{E^\star}+\lVert \psi_2\rVert_{E^\star})\lVert x \rVert_E=2\lVert \varphi\rVert_{M^\star}\lVert x \rVert_E.\]

E quindi

\[2\frac{\lvert \varphi(x)\rvert}{\lVert x \rVert_E}= \lVert\psi_1+\psi_2\rVert_{E^\star}\le 2 \lVert \varphi \rVert_{M^\star}, \]

perciò passando al sup per \(0\ne x \in M\)

\[\lVert \psi_1+\psi_2\rVert_{E^{\star}}=2\lVert \varphi\rVert_{M^\star}=\lVert\psi_1\rVert_{E^\star}+\lVert \psi_2\rVert_{E^\star}.\]

Per la caratterizzazione \((1)\) del post precedente ciò implica che \(\psi_1, \psi_2\) sono direttamente proporzionali, ma dovendo essi coincidere su \(M\) possiamo concludere che \(\psi_1=\psi_2\).

\(2 \Rightarrow 1\). Si veda Foguel [3].////



_________________________
[1] J.A. Clarkson - "Uniformly convex spaces" - Trans. Amer. Math. Soc, 1936 - url: http://www.ams.org/journals/tran/1936-0 ... 1880-4.pdf
[2] A. E. Taylor, "The extension of linear functionals", Duke Math. J. 5 (1939), 538-547.
[3] S. R. Foguel, "On a theorem of A. E. Taylor", Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 325 - url: http://www.ams.org/journals/proc/1958-0 ... 3696-3.pdf
[4] R.R. Phelps, "Uniqueness of Hahn-Banach extension and unique best approximation" - Trans. Amer. Math. Soc, 1960 -url: http://www.ams.org/journals/tran/1960-0 ... 3125-4.pdf

(Gli articoli [2] e [4] erano citati in una precedente versione di questo post. Successivamente ogni riferimento ad essi è stato rimosso in favore dell'articolo [3], molto più conciso)

[dissonance]

C'è un esempio "giocattolo", semplice e simpatico, su cui si può riflettere per passatempo: il funzionale lineare

\[\varphi(x, 0)=x, \]

definito sul sottospazio \(M=\{(x, 0)\mid x \in \mathbb{R}\} \) di \(\mathbb{R}^2\).

Infatti se dotiamo \(\mathbb{R}^2\) di una norma \(p\), ovvero

\[\lvert (x, y)\rvert_p=(\lvert x \rvert^p + \lvert y \rvert^p)^{1/p}, \quad \lvert (x, y)\rvert_{\infty}=\max(\lvert x\rvert, \lvert y\rvert),\]

abbiamo una comodissima rappresentazione dello spazio duale: \((\mathbb{R}^2, \lvert \cdot \rvert_p)^\star\cong (\mathbb{R}^2, \lvert \cdot \rvert_{p'})\), dove \(p'\) è l'esponente coniugato a \(p\), mediante l'identificazione di \(f \in \mathbb{R}^2\) con il funzionale lineare

\[f(x_1, x_2)=f_1x_1+f_2x_2. \]

Si può usare questo risultato per trovare tutte le estensioni di \(\varphi\) ad \(\mathbb{R}^2\) che conservano la norma, verificando che:

1. per \(1<p<\infty\) ne esiste una sola, come previsto dal post precedente;
2. per \(p=1\) esiste un intero segmento di estensioni possibili;
3. per \(p=\infty\) l'estensione è una sola, nonostante la norma duale non sia strettamente convessa.