orsoulx ha scritto:consec ha scritto:Direi che l'ipotesi che non tutti siano nulli non basta
L'ipotesi riguarda gli elementi della prima riga e, mi pare, sia sufficiente.
Condivido l'idea alla base della dimostrazione, ma ritengo che quest'ultima sia da completare: l'ipotesi che gli n numeri abbiano MCD=1, non comporta che ne esistano n-1 fra questi con la medesima proprietà.
Ciao
Probabilmente mi sfugge qualcosa, ma non vedo come, presi $a_1=3$ e $a_2=0$, si possa costruire una matrice $2x2$ del tipo $((3,0),(m,n))$ con $m$ e $n$ interi. Il determinante sarebbe infatti $3n$ che non è mai uguale a $1$. Forse intendi dire che questa circostanza è scartata dall'ipotesi del massimo comune divisore? A quel punto dipende da cosa si intende come "divisore dello $0$".
Io avevo ragionato così. Siano $a_1=2$ e $a_2=3$. Allora esiste una matrice una matrice a coefficienti interi con $2$ e $3$ come prima riga (difatti in questo caso la matrice in questione è $((2,3),(-3,-4))$. Ma allora, scelto un $a_3$ che soddisfi le ipotesi di induzione, la matrice $((2,3,a_3),(-3,-4,k),(0,0,1))$ ha determinante $1$, e $k$ è un intero qualunque. Ma allora, preso un $a_4$ coerente con le premesse, la matrice $((2,3,a_3,a_4),(-3,'4,k,j),(0,0,1,z),(0,0,0,1))$, con $k,j,z$ interi arbitrari, ha determinante $1$, e così via...
Se ho capito bene, non ti torna il fatto che abbia trattato l'ipotesi di induzione facendo conto che esistano sempre $n$ termini il cui massimo comune divisore sia $1$, effettivamente "estrapolandoli" dalla n+1-upla data. Effettivamente questo non è sempre vero (si pensi a $(a_1,a_2,a_3)=(6,10,15)$). Anche se, il lemma di Bezout si può generalizzare anche a più termini, quindi esistono sempre $x,y,z$ tali che $6x+10y+15z=1$. Posto $q=gcd(x,y)$, allora la matrice $((6,10,15),(-y/q,x/q,0),(k,j,q))$, dove $k$ e $j$ sono interi tali che $j*(-y/q)-k*(x/q)=z$ e tali coefficienti esistono sempre perché $x/q$ e $y/q$ sono coprimi, ha determinante $6x+10y+15z$ che per ipotesi è uguale a $1$, come si vede sviluppando con Laplace sulla prima riga. La dimostrazione va corretta, anche se mi sembra che stavolta si possa generalizzare senza troppi intoppi.
Però mi chiedo se l'autore del problema avesse in mente un'altra via alla soluzione o creda che lo sviluppo di Laplace si studi alle superiori...