C'è qualcosa che non va bene nel mio ultimo
post.
Avevo, sostanzialmente, affermato che le sequenze ${y_n}$ che soddisfano le condizioni richieste dal quesito, cioè
$∀n∈ZZ$ $∀m∈ZZ$ $(y_(n+1)·x + y_n)/(y_n·x + y_(n-1)) = x$ ⇔ $(y_(m+1)·x + y_m)/(y_m·x + y_(m-1)) = x$
(*)erano tutte e sole quelle per le quali:
$∀n∈ZZ$ $y_(n+2) = y_(n+1) + y_n$.
(§),
ossia (dando $y_n$ come funzione esplicita dell'indice $n$):
$∀n∈ZZ$ $y_n = A·((1+sqrt5)/2)^n + B·((1-sqrt5)/2)^n$
(§§)(con $A$ e $B$ costanti arbitrarie).
Ma gli interventi di
giammaria m'hanno alla fine convinto che avevo sbagliato!
[Ringrazio perciò
giammaria senza le cui obiezioni avrei perseverato nell'errore!]
In realtà la classe di sequenze che soddisfano la
(*) è più ampia di quella delle sequenze che soddisfano la
(§).
Le sequenze che soddisfano la
(*) sono tutte e sole quelle per le quali:
$∀n∈ZZ$ $y_(n+2) = k·y_(n+1) + y_n$.
(§§§)dove $k$ è una costante arbitraria purché diversa da zero.
In forma esplicita abbiamo dunque
$∀n∈ZZ$ $y_n = A·((k+sqrt(k^2+4))/2)^n + B·((k-sqrt(k^2+4))/2)^n$
(con $A$ e $B$ costanti non entrambe nulle e $k$ costante diversa da zero).
Di conseguenza, le soluzioni delle equazioni in $x$ che stanno nella
(*) diventano:
$x= (k+sqrt(k^2+4))/2$
∨ $x= (k-sqrt(k^2+4))/2$
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