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j18eos ha scritto:@Erasmus_First. Più che una dimostrazione mi sembra un'argomentazione...
a) Prima di una dimostrazione rigorosa, è bene (ragionando magari soggettivamente) arrivare alla convinzione che la tesi è giusta. Perciò, il constatare che (1/n)^(1/n) tende ad 1 per n intero sempre più grande è didatticamente molto utile.
b) Prima di fare "sperimentalmente" queste ... "verifiche numeriche", ho dato per scontato che (1/n)^(1/n) tende ad 1 al tendere di
n a $+∞$.
Se uno accetta questo ... ha praticamente già finito dato che $e^0 = 1$ equivale a $ln(1)=0$.
c) Se invece vuole spiegato perché mai (1/n)^(1/n) tende ad 1 al tendere di
n a $+∞$, allora ... ecco di seguito una dimostrazione che mi pare facile.
1) Si considerino le potenze di 2 che hanno per esponente ancora una potenza di 2, diciamole:
$p_n=2^(2^n)$ per
n = 1, 2, 3, 4, ... ; e poi i loro reciproci, diciamoli $x_n = 1/p_n$.
2) Allora si trova:
$x_n^(x_n)=(1/p_n)^(1/p_n)= (1/2^(2^n))^(1/(2^(2^n))) =(1/2)^((2^n)/(2^(2^n))$.
3) Nell'ultimo membro di questa catena di uguaglianze, l''esponente di 1/2, cioè:
$(2^n)/(2^(2^n)) = 1/(2^(2^n-n)) $
tende evidentemente a zero al tendere dell'intero
n a $+∞$, mentre $x_n$ tende a zero.
[Già per $n=4$, (cioè $2^n = 2^4 = 16$), abbiamo $x_4 = 1/(2^16) ≈ 0,0000152587890$... e
$x_4^(x_4)=(1/2^16)^(1/2^16) = (1/2)^((2^4)/2^16)= = (1/2)^(1/(2^12))= (1/2)^(1/4096) ≈0,99983...$].
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j18eosSpero di essere stato chiaro e ... persuasivo!
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