orsoulx ha scritto:Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per il caso generale, il raggio $r $ della circonferenza inscritta è l'unica radice positiva dell'equazione
$ 2/(l m n ) r^3 + (1/l^2+1/m^2+1/n^2) r^2 - 1=0 $ dove $ l, m, n $ sono le distanze dei tre vertici dall'incentro.
Determinato $ r $ basta il T. di Pitagora per calcolare le lunghezze dei segmenti di tangenti, che sommati a due a due danno i lati.
Mai vista prima d'ora questa equazione. Ma ho verificato proprio con i dati di questo quiz che funziona!
Bello! Non s'è mai finito di imparare
Ma ... dove vai a scovarle tu le equazioni che io non ho mai visto prima?
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Dati i lati $a$, $b$ e $c$ del triangolo $ABC$ di incentro $I$ e posto:
$x = \bar{IA}$; $y=\bar{IB}$; $z = \bar{IC}$
si trova facilmente:
(*) $x^2= (-a+b+c)/(a+b+c)bc$; $y^2=(a-b+c)/(a+b+c)ca$; $z^2=(a+b-c)/(a+b+c)ab$.
Non altrettanto facile è l'inversione delle (*), ossia calcolare $a$, $b$, e $c$ conoscendo $x$, $y$ e $z$.
Confesso che io ci ho provato dedicando alla questione un bel po' di tempo senza riuscirci!
Allora ho ... inventato una procedura che trova gli angoli
$ψ = \hat{AIB}$, $φ=\hat{BIC}$ e $χ=\hat{CIA}$
per approssimazioni successive.
Adottando i simboli (di
orsoulx) $l = \bar{IA}$, $m=\bar{IB}$ e $n = \bar{IC}$, consideriamo una stella a tre raggi (come il simbolo della Mercedes) con i raggi di lunghezza $l$, $m$ ed $n$ uscenti da un punto $P$ ed il triangolo che ha per vertici le punte dei tre raggi. I raggi siano inizialmente spaziati di un terzo diangolo giro. Le distanze di $P$ dai lati del triangolo dipendono dalle lunghezze dei raggi. La minore è la distanza dal lato opposto al raggio maggiore e la maggiore è quella dal lato opposto al raggio minore.
Aumentando un po' l'angolo tra due raggi dove la distanza è maggiore della media (a scapito degli altri due angoli) si passa ad una situazione in cui le tre distanze sono meno diverse dalla media di quanto non erano le precedenti.
Dette $A$, $B$ e $C$ le "punte" dei tre reggi, calcolo l'area dei triangolini $APB$, $BPC$ e $CPA$ (che hanno due lati costituiti dai due raggi) come semisomma del prodotto di questi lati per il seno dell'angolo da essi compreso; e il terzo lato con Carnot; e quindi la distanza del vertice $P$ dal terzo lato come altezza rispetto a questo. Dette $r$, $s$ e $t$ le distanze di $P$ dai lati $BC$, $CA$, e $AB$ rispettivamente opposti ai raggi di lunghezza $l$, $m$ e $n$, si trova dunque:
$r = (m·n·sin(φ))/sqrt(m^2 + n^2 - 2mncos(φ))$; $s = (n·l·sin(χ))/sqrt(n^2 + l^2 - 2nlcos(χ))$; $t = (l·m·sin(ψ))/sqrt(n^2 + l^2 - 2nlcos(ψ))$.
Partendo da angoli $φ$, $χ$ e $ψ$ pari ad un terzo di angolo girio, la prima correzione la faccio con i fattori rispettivi:
$(3r)/(r+s+t)$; $(3s)/(r+s+t)$; $(3t)/(r+s+t)$.
Le correzioni successive le faccio calcolando ptrima tre angoli con i detti tre fattori, quindi facendo la media aritmentica con gli angoli precedenti e infine (dato che in questo modo la somma deei tre angoli non è più un angolo giro) riportando la somma all'angolo giro.
Continuo le correzioni fino a che gli angoli non cambiano più! Allora $P$ è diventato l'incentro del triangolo di vertici le punte della "stella". Allora le tre distanze $r$, $s$ e $t$ sono diventate uguali, ossia sono diventate il raggio del cerchio inscritto.
Infine, i lati del triangolo $ABC$ (che ha per vertici le punte dei tre "raggi" della "stella") sono diventati i lati cercati; e sono:
$a = sqrt(m^2 + n^2 - 2mncos(φ))$; $b = sqrt(n^2 + l^2 - 2nlcos(χ))$; $c =sqrt(n^2 + l^2 - 2nlcos(ψ))$.
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Ovviamente, come sempre (
pardon: come le altre volte
), anche 'sta volta
orsoulx mi ha insegnato qualcosa di bello che ancotra non sapevo.
Tuttavia ... scrivendo un programmino
ad hoc per computeer, il calcolo numerico (nel singolo caso) risulta abbastanza sbrigativo anche col mio metodo di approssimazioni successive.
Ciao Beppe,
Ciao a tutti
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