La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda NickSim » 23/11/2017, 17:29

Ciao a tutti,

ho un problema da sottoporvi:
ad una gara a prove viene assegnato un premio in base alla % di successi dei punti ottenuti su quelli ottenibili:
- nella prima prova Mario fa 100 punti sui 300 possibili (33.33%) ed ottiene 33.33€ (33.33% di 100 punti)
- nella seconda prova Giuseppe fa 200 punti su 400 (50%) ed ottiene 100€ (50% di 200 punti)

Alla cassa, dove viene assegnato il premio cumulativo per la squadra, risultano 300 punti sui 700 disponibili (42.86%) e vengono dati 128.57€ (42.86% di 300 punti).

Come mai sommando le singole prestazioni risultano 133.33€ mentre conteggiando la prestazione complessiva 128.57€?

Grazie per l'attenzione (e per l'aiuto!).

N.
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda axpgn » 23/11/2017, 18:42

Perché in quello cumulativo sono pesati.
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda giammaria » 24/11/2017, 01:05

Sia nei parziali che nel cumulativo, è ben strano il modo di dare il risultato! Esaminiamo ad esempio la seconda prova, che ha calcoli facili: una persona che avesse ottenuto 400 punti sui 400 disponibili avrebbe avuto 400 come risultato, mentre Giuseppe, che ha fatto la metà dei punti, ha 50, cioè un quarto del totale. Ed infatti il punteggio viene preso in considerazione due volte, una per stabilire la percentuale e l'altra per applicare quella percentuale al punteggio stesso. In generale (usando questo tipo di calcolo), una persona che nella seconda prova avesse ottenuto $x_2$ punti avrebbe un risultato di
$x_2*x_2/400=x_2^2/400$
Calcolo analogo vale per la prima prova, con $x_1$ punti; la somma è
$x_1^2/300+x_2^2/400$
Nel punteggio cumulativo si ha invece
$(x_1+x_2)^2/700$
e vedi bene che si tratta di risultati diversi.
La differenza è dovuta in parte al fatto che le prove hanno un peso diverso (cioè assegnano punteggi diversi) ed in parte alla stranezza di cui parlavo all'inizio. Infatti anche ammettendo che entrambe le prove valessero 400 punti (stesso peso) avrei
$"somma"=(x_1^2+x_2^2)/400" "$ e $" " "cumulativo"=(x_1+x_2)^2/800$
e la somma sarebbe maggiore del cumulativo.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda axpgn » 24/11/2017, 01:18

Può darsi sia così ma a me sembra una semplice proporzione ...

Mario fa un terzo dei punti e vince un terzo del montepremi.
Giuseppe fa la metà dei punti e vince la metà del montepremi.

In quella di squadra invece (e giustamente) si dà un diverso peso alle prove ... IMHO ...

Cordialmente, Alex
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda giammaria » 24/11/2017, 09:17

axpgn ha scritto:Mario fa un terzo dei punti e vince un terzo del montepremi.
Giuseppe fa la metà dei punti e vince la metà del montepremi.

No: guarda i numeri. Il montepremi di Mario è 300 e lui ne vince 33,3 (un nono); quello di Giuseppe è 400 e lui ne vince 50 (un quarto).
Inoltre ho la netta impressione che nella somma si considerino i pesi e nel cumulativo no; non lo garantirei perché tutti i calcoli sono fatti in modo assurdo.

EDIT: ho provato a fare qualche calcolo, assegnando alle due prove dei pesi molto diversi e supponendo che in una si abbia punteggio pieno e nell'altra punteggio nullo. Il risultato dice che sia la somma che il cumulativo (diversi fra loro) sono ponderati, dando importanza maggiore alla prova con peso maggiore.
Ultima modifica di giammaria il 24/11/2017, 09:46, modificato 1 volta in totale.
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda NickSim » 24/11/2017, 09:46

giammaria ha scritto:
axpgn ha scritto:Mario fa un terzo dei punti e vince un terzo del montepremi.
Giuseppe fa la metà dei punti e vince la metà del montepremi.

No: guarda i numeri. Il montepremi di Mario è 300 e lui ne vince 33,3 (un nono); quello di Giuseppe è 400 e lui ne vince 50 (un quarto).
Inoltre ho la netta impressione che nella somma si considerino i pesi e nel cumulativo no; non lo garantirei perché tutti i calcoli sono fatti in modo assurdo.


...la tua risposta mi convince (anche se Giuseppe ne vince 100, non 50, che sono comunque un quarto del totale)...

Non capisco perché dici che i calcoli sono fatti in modo assurdo; mettiamola così (se serve a far apparire più logico il metodo):
1. ordine -> prezzo netto 100€ / Prezzo di listino 300€ / realizzo 33.33% / provvigione 33.33% di quanto venduto= 33.33€
2. ordine -> prezzo netto 200€ / Prezzo di listino 400€ / realizzo 50% / provvigione 50% di quanto venduto=100€

Totale ordinato 300€ / Totale listino 700€ / realizzo 42.86% / provvigione 42.86% di quanto venduto = 128.57€

La domanda a questo punto è: è dimostrabile che la somma dei parziali è sempre > del complessivo?
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda giammaria » 24/11/2017, 09:57

NickSim ha scritto: La domanda a questo punto è: è dimostrabile che la somma dei parziali è sempre > del complessivo?

Sì, ed è anche facile. Riferendomi a quanto ho scritto nel primo intervento,
$"somma - cumulativo"=(x_1^2+x_2^2)/400-(x_1+x_2)^2/800=...=(x_1-x_2)^2/800>0$
e quindi somma > cumulativo.
Avviso che ho aggiunto un EDIT al secondo intervento.
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda axpgn » 24/11/2017, 13:26

@giammaria
Non sono molto d'accordo ... nel senso che il tuo ragionamento va bene ma è uno dei modi di vedere le cose, chissà cosa intendeva chi ha costruito quelle "modalità di punteggio e ricompensa" ... ad esempio tu affermi che
giammaria ha scritto:No: guarda i numeri. Il montepremi di Mario è 300 e lui ne vince 33,3 (un nono); ...
ma questa è una tua supposizione, non viene esplicitamente detto ciò, per come la vedo io, è più semplice: $1/3$ dei punti, $1/3$ del montepremi che è $100$ (da come è scritto in quel testo) e così via. Non vedo contraddizioni ne complicazioni.

Dopo aver letto la precisazione di Nick, noto che la situazione è diversa rispetto al primo post e in questo caso non ho niente da aggiungere (rimane però valido quanto detto precedentemente ... :D )

Cordialmente, Alex
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda giammaria » 24/11/2017, 16:24

axpgn ha scritto: $1/3$ dei punti, $1/3$ del montepremi che è $100$

E' una questione di semantica: con "montepremi" io intendo una cifra indipendente dal punteggio raggiunto. Nel caso di Mario questa cifra è $300$ e Mario prende $33.3=1/9*300$; questo è detto esplicitamente ed è la base dei miei calcoli. Se poi vuoi chiamare montepremi il $100$ e dare un altro nome al $300$ va benone, basta capirci.

Mi piace discutere con te!
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Re: La somma non sempre fa il totale...

Messaggioda axpgn » 24/11/2017, 17:22

Allora ... giusto per discutere ( :-D ), rileggendo un'altra volta il testo del primo post, Nick scrive "33,33% di 100 punti" e quindi sarebbe corretta la tua interpretazione ma ( :D ) contemporaneamente dice che l'importo guadagnato è di "33,33 euro" e quindi qualcosa non torna: o sono punti e quindi la vincita è un nono del "montepremi" o sono euro e allora il "montepremi" è sganciato dal punteggio massimo ... isn'it? :D

(Con la precisazione seguente di Nick è evidente che non è così ... :wink: )

Cordialmente, Alex
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