I 1001 modi per avere un quadrato perfetto

[Zero87]

Pongo un quesito/esercizio aperto, facile ma comunque molto carino.

Oggi come alle superiori, mi stupisco veramente con poco.

«Dati $n$, $n+1$ numeri interi, $n(n+1)*100 + 25$ è un quadrato perfetto».
«Abbiamo $n$ e $n+2$ numeri interi positivi. La differenza tra $(n(n+2)+2)^2$ e $(n(n+2))^2$ è il quadrato di $n+(n+2)$».

Sì, lo so che entrambe si dimostrano con il calcolo secco o con un'occhiata - per la seconda ho trovato due dimostrazioni diverse anche se mi resta un sapore di terna pitagorica che non afferro. Però c'è qualcosa di armonioso in tutto questo come il fatto che i quadrati perfetti - apparentemente pochi nel complesso dei naturali¹ - sbucano in mezzo a combinazioni inaspettate.

Oltre a lasciare aperte le porte per la dimostrazione della seconda (ne ho trovate 2, una è ovviamente il calcolo secco), vi chiedo se conoscete o vi vengono in mente altre scritture interessanti, artistiche, o altre espressioni che danno origine a quadrati.
Ovviamente anche più complicati, ho solamente condiviso con voi dove vado con la testa quando sto in pausa caffè a lavoro.

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Note

1. Siamo in una sezione delle superiori, facciamo finta che non esistano questioni relative alla cardinalità... che tra l'altro all'epoca mia non si insegnavano alle superiori. ↑

[Erasmus_First]

[...]Oggi come alle superiori, mi stupisco veramente con poco.
«Dati $n$, $n+1$ numeri interi, $n(n+1)*100 + 25$ è un quadrato perfetto».

Forse non ho capito dove sta il succo della questione.
Se si tratta di mostrare che $100·n(n+1)+ 25$ è il quadrato di un intero positivo per ogni n naturale ... mi stupisco non poco che tu ti stupisca!
Mi pare evidente che
$100·n(n+1) + 25 = 25(4n^2 + 4 n + 1) = 5^2·(2n+1)^2 = [5·(2n+1)]^2$.
Anche $n(n+1)·676+169$ è un quadrato perfetto per qualsiasi n intero!
Voglio dire: E' ovvio che, posto $m = k·(2n+1)$, $m$ è intero positivo per ogni $k$ intero positivo e per ogni n naturale; per cui:
$n(n+1)·4k^2 + k^2 = [k(2n+1)]^2 = m^2$ (quadrato di intero positivo per ogni $k$ intero positivo ed ogni $n$ naturale).
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[giammaria]

In questo momento non mi vengono in mente calcoli "furbi" che diano per risultato un quadrato.
Scrivo solo per dire che la tua prima espressione è la traduzione in formula di una poco nota regola di calcolo veloce: "Per elevare a quadrato un numero che termina per 5 si può togliere il 5 e moltiplicare il numero restante per il suo consecutivo; in coda si scrive 25".
Ad esempio, volendo il quadrato di $325$ posso calcolare $32*33=1056$ e quindi scrivere $325^2=105625$.
Naturalmente la regola è utile solo se quel prodotto si calcola facilmente; non era il caso del mio esempio, ma lo è per i numeri di due cifre. Ad esempio, faccio a mente il calcolo $65^2=4225$

[Zero87]

Forse non ho capito dove sta il succo della questione.
Se si tratta di mostrare che $100·n(n+1)+ 25$ è il quadrato di un intero positivo per ogni n naturale ... mi stupisco non poco che tu ti stupisca!

Infatti quell'esempio è proprio banale. Forse non mi sono spiegato bene ma il succo "nascosto" della questione sta nelle infinite possibilità con cui si ottengono dei quadrati e nell'usare "all'incontrario" quelle regole che ci fanno studiare fino alla nausea alle superiori.

Vediamola così: alle medie e superiori ti fanno fare fino alla nausea calcoli su calcoli su polinomi e cose simili. Nessuno però ti dice che puoi applicarle alla realtà.
Per fare un esempio collegato a quello, se dovessi calcolare il quadrato di 85, potrei dire che è $80 \cdot 90 + 25 = 7225$ quando invece chiunque sarebbe portato a fare l'operazione con la calcolatrice, a mano oppure a dire cose come "80 per 80 fa... 5 per 80 fa...".

A questo ho collegato i mille modi in cui tutte queste operazioni polinomiali che ci fanno fare, applicate ai numeri naturali, danno un pacco di quadrati apparentemente inaspettati.
Volevo far riflettere gli studenti delle superiori su questo.

"Per elevare a quadrato un numero che termina per 5 si può togliere il 5 e moltiplicare il numero restante per il suo consecutivo; in coda si scrive 25".

Esattamente, ho detto proprio questo.

Vediamo se faccio cogliere lo spirito di questo thread, faccio una domanda più ampia rispetto ai quadrati: in quanti hanno mai applicato le regole dei calcoli letterari al calcolo a mente? Per esempio $81^2 = 6400 + 160 + 1 = 6561$ (tralasciando, ora, che $6561=3^8$).

[Clod_98]

Capisco cosa intendi. È sempre bello vedere come in matematica tutte le cose sembrino ricollegarsi, a volte in modi inaspettati. Tanto per restare in tema, anche il prodotto di 4 numeri consecutivi +1 è sempre un quadrato perfetto

[Zero87]

Capisco cosa intendi. È sempre bello vedere come in matematica tutte le cose sembrino ricollegarsi, a volte in modi inaspettati.

Infatti, proprio questo mi affascina.

Tanto per restare in tema, anche il prodotto di 4 numeri consecutivi +1 è sempre un quadrato perfetto

Se non ho preso un granchio, non è difficile dimostrarla in modo "diretto", cioè facendo il calcolo.

[@melia]

Su un vecchio testo di Algebra del biennio, l'Oriolo Coda, agli esercizi che avete proposto qui (vi assicuro ci sono tutti) segue
"Dopo aver scomposto in fattori il trinomio $x^4+x^2+1$ utilizzate il risultato ottenuto per scomporre in fattori primi $10101$ e $100010001$"

[Zero87]

"Dopo aver scomposto in fattori il trinomio $x^4+x^2+1$ utilizzate il risultato ottenuto per scomporre in fattori primi $10101$ e $100010001$"

Molto bello, mi ricorda il «si utilizzi il triangolo di Tartaglia per calcolare le potenze dell'$11$».