Sei cerchi

[axpgn]

Disegnate sei cerchi sul piano, dalle dimensioni che volete e nelle posizioni che più vi aggradano con l'unico vincolo che ogni cerchio NON deve contenere il centro degli altri cinque cerchi.
Dimostrate che non esiste un punto comune a tutti e sei i cerchi.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Dimostrazione per assurdo.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

I centri $ C_1..C_6 $ dei sei cerchi devono essere punti distinti: se due coincidessero, ciascuno dei due apparterrebbe al cerchio dell'altro.
Supponiamo che esista un punto $ P $ comune ai sei cerchi.
Se $ P $ coincide con uno dei centri, quest'ultimo apparterebbe agli altri cinque cerchi. Assurdo.
Consideriamo i sei segmenti aventi per estremi $ P $ ed uno dei centri; nessun centro può appartenere al segmento di un altro, altrimenti apparterebbe anche al cerchio di quest'ultimo. Assurdo.
I sei segmenti dividono l'angolo giro di centro $ P $ in sei angoli e, essendola loro somma uguale a 360°, almeno uno di questi angoli non sarà maggiore di 60°.
Il triangolo $ C_hPC_k $ avente due lati coincidenti con i segmenti formanti l'angolo $ C_h P C_k<=60° $ avrà almeno un ulteriore angolo interno $ C_hC_kP>= C_hPCk $ ed allora sarà $ C_hP>=C_hC_k $ e $ C_k $ apparterrà al cerchio di centro $C_h$. Assurdo

Ciao

[axpgn]

Perfetto!

[Erasmus_First]

Domanda (ad Alex e/o ad orsoulx) [alla quale io non so rispondere]:
«Se invece di 6 cerchi se ne disegnano 5 è possibile che almeno un punto appartenga a tutti cinque (stando magari sulla circonfeenza di qualcuno)?»
Grazie dell'attenzione!
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[orsoulx]

@Erasmus,
L'intersezione di 5 cerchi aventi centri coincidenti con i vertici di un pentagono regolare e raggio maggiore di quello della circonferenza circoscritta al poligono, ma minore del lato del pentagono, non è vuota.
Ciao

[Erasmus_First]

@Erasmus,
L'intersezione di 5 cerchi aventi centri coincidenti con i vertici di un pentagono regolare e raggio maggiore di quello della circonferenza circoscritta al poligono, ma minore del lato del pentagono, non è vuota.
Ciao

Giusto. Ed era anche facile! [Ma ogni tanto ... rincitrullisco! ]
[In un pentagono regolare un vertice dista meno dal centro che dai due vertici più vicini. In un esagono, invece., la distanza è la stessa].
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