Serie doppia

[dan95]

Calcolare $\sum_{n=2}^{infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n\cdot k!}$

[Erasmus_First]

Calcolare $\sum_{n=2}^{infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n\cdot k!}$

Non mi pare che questo quesito sia a livello di scuole preuniversitarie.
Comunque:
a) Commutando le sommatorie si ha:
$\sum_{n=2}^{infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n\cdot k!} = \sum_{k=2}^{infty}1/(k!)\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{k^n)=\sum_{k=2}^{infty}1/(k!)·1/(k(k-1))= sum_{k=0}^{infty}1/([(k+2)(k+1)]^2k!)$.
b) Fino ad ora ... non sono stato in grado di calcolare teoricamente l'ultima sommatoria.
c) Gli addendi calano molto in fretta di valore al crescere di k. Nell'ultima sommatoria che ho scvritto le prime 14 cifre significative non cambiano limitando il numero di addendi ai primi tredici (ossia sostituendo +∞ con un intero positivo maggiore di 11).
Con lìapplicazione "Grapher" per Apple trovo infatti:

_________

[axpgn]

Meglio sotto spoiler ...

Comunque, siccome dan95 ha chiesto di "calcolare" allora ieri ho calcolato che la risposta è ...

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$3-e$

Cordialmente, Alex

[Delirium]

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Un approccio potrebbe essere questo: la penultima sommatoria scritta da Erasmus_First si può riscrivere come (bisogna giustificare adeguatamente gli scambi di limite) \[ \begin{split} \sum_{k=2}^\infty \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \frac{1}{k!} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k-1} \frac{1}{k!} - \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k} \frac{1}{k!} & = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{k!} \int_0^1 x^{k-2} \, dx - \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{k!} \int_0^1 x^{k-1} \, dx \\ & = \int_0^1 \frac{e^x - 1 -x }{x^2} \, dx - \int_0^1 \frac{e^x - 1 -x }{x} \, dx. \end{split} \]Per sbrogliare gli ultimi due integrali ho fatto uso della funzione integrale esponenziale; infatti se \( \epsilon > 0 \) è piccolo, \[\begin{split} \int_\epsilon^1 \frac{e^x - 1 -x }{x^2} \, dx & =\text{Ei}(1) - \text{Ei}(\epsilon) + \log(\epsilon) - e +1 +\frac{e^{\epsilon} - 1}{\epsilon} \\ & = \text{Ei}(1) - ( \gamma + \log(\epsilon) + o(\epsilon) ) + \log(\epsilon) - e +1 +\frac{e^{\epsilon} - 1}{\epsilon} \\ & = \text{Ei}(1) - \gamma + o(\epsilon) - e +1 +\frac{e^{\epsilon} - 1}{\epsilon} \end{split} \]e passando al limite per \( \epsilon \to 0 \) l'ultima riga tende a \( \text{Ei}(1) - \gamma - e +2 \). Ho usato lo sviluppo in serie di Laurent dell'integrale esponenziale (\(\gamma\) è la costante di Eulero-Mascheroni).

Analogamente si ottiene che \[ \int_0^1 \frac{e^x - 1 -x }{x} \, dx = \text{Ei}(1) - 1- \gamma\]donde si ottiene infine che \[ \sum_{k=2}^\infty \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \frac{1}{k!} = 3 - e. \]

[dan95]

@Erasmus
È pre-universitario

@Delirium
Non uccidere mosche con i cannoni

[Delirium]

@dan: ho giocato troppo a Serious Sam.

[giammaria]

@Erasmus
È pre-universitario

No, no e no! E' pre-universitario lo scambio delle sommatorie e l'ottenimento della formula scritta da Erasmus-First, ma il resto esula dai programmi delle superiori. Questi non contemplano neanche le serie, quindi è già discutibile che le si calcoli nel modo da lui indicato; fin lì si può fare eccezione ma assolutamente non oltre.

[axpgn]

Beh, ma avete ragione tutti e due: è pre-universitario ma post-superiori ... estivo insomma ...

[totissimus]

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L'indice superiore delle semmatorie è ovviamente infinito:
$\sum_{k=2}\frac{1}{k!(k-1)k}=\sum_{k=2}\frac{1}{k!}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\sum_{k=2}\frac{1}{k!(k-1)}-\sum_{k=2}\frac{1}{k!k}=$

$\sum_{k=2}\frac{1}{(k-1)!}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)-\sum_{k=2}\frac{1}{k!k}=$

$\sum_{k=2}\frac{1}{(k-1)!(k-1)}-\sum_{k=2}\frac{1}{(k-1)!k}-\sum_{k=2}\frac{1}{k!k}=$

$\sum_{k=1}\frac{1}{k!k}-\sum_{k=2}\frac{1}{k!}-\sum_{k=2}\frac{1}{k!k}=1-(e-2)=3-e$

[giammaria]

Bello il metodo di totissimus! E' pur sempre richiesto lo sviluppo in serie di $e$, ma forse qualche studente delle superiori lo conosce; considerando il risultato, non si può farne a meno.