MCD e mcm

[Alex7337]

Salve ragazzi vorrei proporvi questo piccolo problema che non riesco a risolvere:
Determinare quante coppie (a, b) hanno m.c.m.=660 e M.C.D.=2
Vi prego di spiegare come siete giunti al risultato, Grazie.

[axpgn]

Non è il contrario? Così com'è la vedo dura …

[Alex7337]

Eh appunto... io era arrivato che il prodotto a*b=mcm*MCD, quindi in questo caso a 1320... poi oltre a scomporre 1320 in fattori primi non so più come muovermi.

[axpgn]

Vedi se questo ti aiuta … comunque correggi quel post

[Alex7337]

Vedi se questo ti aiuta … comunque correggi quel post

Ho dato un occhiata alla discussione e mi ha incuriosito la formula che avevi postato, ovvero questa:

C=(2e1+1)⋅(2e2+1)⋅...⋅(2en+1)−1/2+1 e mi piacerebbe sapere come ci sei arrivato, ed eventualmente una dimostrazione. Grazie.

[axpgn]

Beh, è scritto lì … anche se in modo decisamente stringato, debbo ammetterlo …

[axpgn]

Comunque le coppie che cerchi sono queste:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$(2,660), (4,330), (6,220), (10,132), (12,110), (20,66), (22,60), (30,44)$

[Alex7337]

Grazie per la risposta, ma come ci sei arrivato? Hai fatto "manualmente" oppure hai applicato una formula?

[axpgn]

Ho "ragionato" come per l'altro problema, solo che là ho anche trovato una formula qui invece non era necessario o meglio facevo prima a trovarle tutte.

Se trovo un po' di tempo, lo spiego più tardi …

[axpgn]

Dunque … se $N=\text(mcm)(a,b)$ allora $N$, se scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori primi di $a$ o di $b$ o comuni ad $a$ e $b$ e non altri. Inoltre, l'esponente di ciascuno di tali fattori è pari al massimo tra quelli in cui compare in $a$ e in $b$.
Quindi, dato che $N=2^2*3^1*5^1*11^1$ allora questi quattro fattori con quell'esponente devono comparire in almeno uno dei due numeri $a$ e $b$.
Però c'è anche l'altro vincolo ovvero il $\text(MCD)=2$
Ciò significa che nei fattori di uno dei due numeri deve comparire solo un $2$ mentre nell'altro deve esserci il $2^2$.
A 'sto punto distribuisci gli altri tre fattori in tutte le possibili combinazioni (che sono otto: una da tre, tre da due, tre da uno, una da zero) ed hai fatto.

Cordialmente, Alex