Quadrati e cerchi

Messaggioda j18eos » 12/05/2018, 12:32

Scuola Superiore di Studi Universitari e di Perfezionamento Sant'Anna

Concorso di Ammissione al I Anno - Prova Scritta di Matematica - 01/IX/2016

Esercizio 2. Si desidera coprire completamente un cerchio nero di raggio \(\displaystyle r\) con quadrati bianchi di lato \(\displaystyle l\), anche sovrapponendoli. Sia \(\displaystyle N(l,r)\) il numero minimo di quadrati necessari per coprire il cerchio.

Si determini:
  1. una stima per eccesso di \(\displaystyle N(l,r)\) in funzione di \(\displaystyle l\) ed \(\displaystyle r\);
  2. una stima per difetto di \(\displaystyle N(l,r)\) in funzione di \(\displaystyle l\) ed \(\displaystyle r\);
  3. una stima per difetto del massimo \(\displaystyle r\) tale che \(\displaystyle N(l,r)\leq 1\) in funzione di \(\displaystyle l\);
  4. una stima per difetto del massimo \(\displaystyle r\) tale che \(\displaystyle N(l,r)\leq 2\) in funzione di \(\displaystyle l\);
  5. una stima per difetto del massimo \(\displaystyle r\) tale che \(\displaystyle N(l,r)\leq 3\) in funzione di \(\displaystyle l\).
Nota bene: la valutazione dell'esercizio sarà crescente con la qualità delle stime proposte.

Buon divertimento.

A coloro che non si reputano "all'altezza" di questi esercizi dico: tentar non nuoce, dato che una volta compreso il trucco che si cela dietro questo esercizio, ci vuole un minuto e mezzo\due minuti per rispondere a tutte le domande. :wink:
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Re: Quadrati e cerchi

Messaggioda veciorik » 16/05/2018, 21:56

Non ho la soluzione generale, ma solo due soluzioni precise (non stime) per N=2 e 3, oltre alle due banali per N=1 e 4:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
  1. $N=1 \qquad \qquad l/r=2$
  2. $N=2 \qquad \qquad l/r=1+\sqrt(2)/2$
  3. $N=3 \qquad \qquad l/r=1+\tan(\pi/3-\pi/4)$
  4. $N=4 \qquad \qquad l/r=1$
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Messaggioda j18eos » 17/05/2018, 00:30

Che ragionamento si cela dietro quelle soluzioni? ;)
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Re: Quadrati e cerchi

Messaggioda veciorik » 17/05/2018, 09:24

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Quadrati circoscritti ai settori circolari con angoli $ \quad (2pi)/N $
Forse funziona anche per $N > 4$, ruotando opportunamente i quadrati
"Dietro ogni problema c'è un'opportunità" - "Nelle prove naturali non si deve ricercare l'esattezza geometrica" - "Stimo più il trovar un vero, benché di cosa leggiera, che 'l disputar lungamente delle massime questioni senza conseguir verità nissuna" (Galileo Galilei)
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Messaggioda j18eos » 22/05/2018, 18:21

Domanda\Indizio:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
ma se i quadrati non fossero sovrapponibili, come rispondereste a (1) e (2)?
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Re: Quadrati e cerchi

Messaggioda Luca21 » 13/08/2019, 10:31

j18eos ha scritto:

A coloro che non si reputano "all'altezza" di questi esercizi dico: tentar non nuoce, dato che una volta compreso il trucco che si cela dietro questo esercizio, ci vuole un minuto e mezzo\due minuti per rispondere a tutte le domande. :wink:


Non riesco a capire quale sia il "trucco" che consente di rispondere a tutte le domanda in due minuti.
Potresti darmi un aiuto ? Grazie
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Messaggioda j18eos » 14/08/2019, 17:16

Non lo ricordo nemmeno io; e non ho la soluzione salvata da qualche parte...

Prova a risolvere la domanda (3), poi la (4) e, infine, la (5); io feci così...
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Re:

Messaggioda Luca21 » 16/08/2019, 09:25

j18eos ha scritto:Non lo ricordo nemmeno io; e non ho la soluzione salvata da qualche parte...

Prova a risolvere la domanda (3), poi la (4) e, infine, la (5); io feci così...


Ho risolto facilmente la domanda 3) e la domanda 4), ma non riesco a risolvere decentemente la 5) :roll: . Quindi non riesco a risolvere la 1) e la 2).
Qualcun altro potrebbe dare una mano d'aiuto? :lol:
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Messaggioda j18eos » 20/08/2019, 15:08

Come generalizzeresti (3) a (4), e così poi passare a (5)?
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