Cerchio e semicerchio

Messaggioda axpgn » 13/03/2020, 00:13

Disegniamo una semicirconferenza nel primo quadrante "appoggiata" sull'asse delle $x$ e con un estremo nell'origine.
Disegniamo poi una circonferenza di raggio $r$, centrata nell'origine, che intersechi la semicirconferenza.
Chiamiamo $A$ il punto di intersezione della circonferenza con l'asse positivo delle ordinate e chiamiamo $B$ l'intersezione tra circonferenza e semicirconferenza.
Tracciamo la semiretta uscente da $A$ e passante per $B$, la quale intersecherà l'asse delle ascisse in $X$.

Se riduciamo $r$ sempre più, dove va a finire $X$ ?

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Cordialmente, Alex
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda MrDark82 » 13/03/2020, 16:44

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
se non sbagliato i conti, per r-->0 anche x-->0


Saluti
MrDark82
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda axpgn » 13/03/2020, 16:54

Eh, no ... [-X
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda giammaria » 14/03/2020, 08:03

Scrivo solo alcuni punti della mia soluzione ed invito i lettori a ricostruirne il resto.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Indicando con $a$ il raggio della semicirconferenza e scrivendo il risultato in forma razionalizzata, con l'analitica trovo che l'ascissa di $X$ è $x=2a+sqrt(4a^2-r^2)$ e concludo facilmente.
Ho poi interpretato geometricamente questa soluzione e, sapendo dove volevo arrivare, ho trovato una soluzione per via sintetica.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda marmi » 26/03/2020, 15:14

Ciao,
Io l'ho affrontato cosi':
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano:
$O$ l’origine degli assi
$D$ la seconda intersezione, oltre ad $O$, della semicirconferenza con l’asse delle ascisse.
Sia $1$ il raggio della semicirconferenza.
Infine sia $\alpha$ la misura deglia angoli congruenti $BDO$ e $AOB$

L’angolo $OAB$ misura $\pi / 2 - \alpha /2$ quindi $OXB$ misura $\alpha /2$.
$BDX$ misura $\pi - \alpha $ quindi DBX misura $\pi /2 - \alpha /2$ ed e’ $DBX \cong OXB$
Da cui $BD \cong DX$.
Per $r \rightarrow 0$ $\overline{BD} \rightarrow 2$ e $\overline{OX} = \overline{OD}+ \overline{DX} rightarrow 4$.

Ciao,
Marmi
Ultima modifica di marmi il 26/03/2020, 16:37, modificato 1 volta in totale.
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda axpgn » 26/03/2020, 15:58

@marmi
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marmi ha scritto:Siano: $D$ la seconda intersezione, oltre ad $O$, della semicirconferenza con l’asse delle ordinate.

E quale sarebbe? Non ce ne sono altre ...
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda marmi » 26/03/2020, 16:36

pardon: ascisse. correggo.
marmi
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda axpgn » 26/03/2020, 17:49

Ok :smt023

@marmi
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Un paio di cose …
marmi ha scritto:$ BDX $ misura $ \pi - \alpha $ quindi DBX misura $ \pi /2 - \alpha /2 $ ed e’ $ DBX \cong OXB $

A me viene che l'angolo $DBX$ viene $alpha/2$ e non $pi/2-alpha/2$ (altrimenti non puoi dire che $DBX=OXB$)
E poi che per $r -> 0$ allora sia $BD -> 2 $ è intuitivamente vero ma formalmente?
Dico questo perché questo problemino è stato fatto proprio per testare l'intuizione; a molti è stato chiesto "dov'è pensi che vada a finire $X$ ? così, ad intuito" e buona parte ha risposto "all'infinito" :wink:


Cordialmente, Alex
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Re: Cerchio e semicerchio

Messaggioda marmi » 27/03/2020, 08:06

@alex
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1. hai ragione: la misura di $DBX$ e' $\alpha /2$
2. per il teorema di pitagora, $DBO$ e' retto essendo inscritto in una semicirconferenza.
3. a intuito non avrei saputo dire


Ciao,
marmi
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