Inversioni

[axpgn]

Diciamo che un numero intero è "l'inversione" di un altro numero intero se è composto dalle stesse cifre ma scritte in ordine inverso (p.es. $4321$ è l'inversione di $1234$)

1) Dimostrare che non esiste un numero naturale la cui inversione è due, tre, cinque, sette o otto volte il numero stesso.

2) Trovare tutti gli interi le cui inversioni sono quattro o nove volte il numero originale.


Cordialmente, Alex

[3m0o]

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Cosa intendi per \(x \) volte il numero originale? Intendi, ad esempio con \(3 \) volte il numero stesso, se il numero originale è ad esempio \(123 \) allora l'inversione è \(123 123 123 \) ? (anche se ovviamente non è la sua inversione). Io ho capito questo ma in tal caso l'inversione che richiedi per quattro o nove volte, avrebbe rispettivamente quattro o nove volte il numero di cifre del numero originale e dunque non è possibile trovare alcun numero di questo tipo, perché evidentemente devono avere lo stesso numero di cifre. Oppure intendi che l'inversione è \(3 \cdot 123 \) ?

[axpgn]

Intendo, per esempio, se $abcd$ è il numero originale e $dcba$ la sua inversione dimostrare che non esiste $k$ tale che $dcba=k*abcd$ con $k in {2, 3, 5, 7, 8}$ (oppure che esiste per $k in {4, 9}$ e in tal caso determinare tali numeri)

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Nessuno?

[ondine]

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Come al solito ci provo
1)Un numero naturale con $N+1$ cifre può essere scritto come $n=sum_(i = 0)^N a_i 10^i$ dove $0<=a_i<=9$ con le eccezioni $a_0 !=0, a_N!=0$.
Il suo inverso è $tilde(n)=sum_(i = 0)^N a_i 10^(N-i)=sum_(i = 0)^N a_(N-i) 10^i$
Deve essere che $tilde(n)=kn$. Questo equivale a scrivere:
$sum_(i = 0)^N 10^i(ka_i-a_(N-i))=0$
Questa sommatoria significa che:
$(ka_0-a_N)+10(ka_1-a_(N-1))+...+10^n(ka_N-a_0)=0$
La prima parentesi deve essere un multiplo di 10 altirmenti non ci sarebbero cifre delle unità che potrebbero compensarla. Perciò
$ka_0-a_N=10eta$ con $eta=0,1,...,k-1$.
L'ultima parentesi non può essere positiva altrimenti non potrebbe essere compensata dalla precedente (che può compensarla di un massimo di $k-1$, perciò:
$-(k-1)<=ka_N-a_0<=0$
Tuttavia, per i vincoli sui coefficienti, si ha $k-9<=ka_N-a_0$.
Quindi la giusta disequazione da usare è:
$-(k-1)<=ka_N-a_0<=0$ se $k<=5$ e
$k-9<=ka_N-a_0<=0$ se $k>5$.
In definitiva, usando la condizione sulla prima parentesi si può scrivere che:
$(10keta-(k-1))/(k^2-1)<=a_0<=(10keta)/(k^2-1)$ se $k<=5$
$(10keta+k-9)/(k^2-1)<=a_0<=(10keta)/(k^2-1)$ se $k>5$
Se un soluzione esiste, a_0 deve essere intero e diverso da 0 (così come a_N). Si studia facilmente che per $k=2,3,5,6,7,8$ Non esistono soluzioni accettabili, mentre esistono per $k=4,9$. In particolare per il primo valore $a_0=8$ e $a_N=2$ mentre nell'altro caso $a_0=9$ e $a_N=1$ come ci si aspetterebbe.

2) facendo qualche conto si vede come, nel caso $k=4$ il numero $n=2178$ sia soluzione. Tuttavia data la forma della sommatoria che si deve annullare, se si annulla $2178$ si anulleranno anche tutti i numeri formati "dalla sua ripetizione" ($21782178, 217821782178$ ...).
Per $k=9$ si trova $n=1089$ e allo stesso modo del precedente sono soluzioni anche le ripetizioni di questo.

[axpgn]

Un buonissimo lavoro!


Però ...

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Dici

... Si studia facilmente che ...

È vero ma perché hai fatto quella premessa prima

Anche senza quella premessa, ci si può arrivare andando direttamente a testare i singoli casi.
Per esempio, se $k=5$, la prima cifra non può essere maggiore di $1$, altrimenti l'inversione avrebbe un maggior numero di cifre. (Nota: non è necessario escludere lo zero come prima cifra, è ammissibile)
Ma un numero che termina con $1$ non è divisibile per $5$. E così vale anche per $6$ e $8$.
Per le altre, ragionamenti simili anche se un po' più lunghi.
Per esempio per $k=2$, la prima cifra non può essere $1$ o $3$. Poniamo sia $2$; allora l'ultima cifra può essere $1$ o $6$ e quindi avremmo che nel primo caso, l'inversione sarebbe minore del numero raddoppiato mentre nel secondo caso, viceversa.

Più complicato trovare quali sono i numeri che moltiplicati per $4$ o per $9$ danno l'inversione; sei stato molto bravo
Però non sono gli unici
Quali sono gli altri?

Cordialmente, Alex

[ondine]

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Dici

... Si studia facilmente che ...

È vero ma perché hai fatto quella premessa prima

Giusto
Ah è vero,se $k=4$, sono soluzione anche tutti i numeri ottenuti "mettendo vicini" il numero base $2178$ (che per foza dovrà stare all'inizio e alla fine del numero) sia con copie di se stesso sia a degli zeri simmetrici rispetto ad un qualsiasi numero di basi centrali o simmetrici rispetto ad un numero qualsiasi di zeri centrali.
Se la base è centrale un esempio è $2178000217802178021780002178$
Se sono gli zeri ad essere centrali un esempio è $217821780021780000021780021782178$
Stesse considerazioni per la costruzione delle soluzioni nel caso $k=9$.

[axpgn]

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Manca solo un pezzettino: oltre allo zero, anche il $9$ può essere inserito.

Detto questo, è possibile generalizzare così:

Tutti i numeri-base per cui il loro quadruplo è pari alla loro inversione sono questi:

$0, 2178, 21978, 219978, ..., 2199...978, 2199...9978, ...$

Li ho chiamati numeri-base perché partendo da questi è possibile costruirne infiniti altri usando questa struttura palindroma:

$S_1S_2...S_(n-1)S_nS_(n-1)...S_2S_1$

dove i vari $S_i$ sono appunto i numeri-base.

Ecco alcuni esempi:

$2197821978$
$2199782178219978$
$21978021997800219978021978$
$02199999780$

Analogo discorso per $k=9$ i cui numeri base sono:

$0, 1089, 10989, 109989, ..., 1099...989, 1099...9989, ...$

Cordialmente, Alex

P.S.:

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Volendo esagerare si può aggiungere che tutti i palindromi sono l'inversione di sé stessi moltiplicati per $1$
E che lo zero è sempre l'inversione di sè stesso comunque lo si moltiplichi