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Col mio precedente hint abbiamo che $f(x+1)= f(f(x))$ per ogni $x in ZZ$.

Questo significa che se $f$ è iniettiva ....

Sia ora $f$ non iniettiva.
Fissato $y in ZZ$, poniamo $x = f(y) -1$. Si ha $f(f(x)) = f(x+1)= f(f(y)) = f(y+1)$

Sostituendo nella formula iniziale abbiamo $f(-1)= f(y+1)-f(y) -1$ per ogni $y in ZZ$,
ovvero $f(y+1)= f(y) +[f(-1) +1]$ per ogni $y in ZZ$.
...

Step 1.

Esiste $a \in \mathbb{Z}$ tale che $f(a)=-1$.

Dim. Sostituiamo $y=f(x)$ all'equazione funzionale otteniamo

$f(x-f(x))=-1$

Ora, possiamo prendere ad esempio $a=-1-f(-1)$.

Step 2.

Vale $f(x+1)=f(f(x))$.

Dim. Sostituendo $y=a$ abbiamo che

$f(x+1)=f(f(x))$

Step 3.

Sia $m \ne -1$ allora $f(x+h)=f(x)+h$, con $h=m+1$.

Dim. Sia $y$ tale che $f(y)=m$ allora dell'equazione funzionale e dallo Step 2 abbiamo che

$f(x-m)=f(x+1)-m-1 \Rightarrow f(x)=f(x+m+1)-m-1$

L'implicazione segue dalla sostituzione $x \rightarrow x+m$. Quindi ponendo $h=m+1$ abbiamo

$f(x+h)=f(x)+h$

Step 4.

Vale $f(x+1)=f(x)+k$, dove $k=f(-1)+1$.

Dim. (Hintone)

Se $f(x)$ è una soluzione non costante dell'equazione funzionale allora $f(x)=x+1$.

Dim.
Come è facile mostrare l'unica soluzione costante è $f(x)=-1$. Quindi, supponiamo che esiste $y$ tale che $f(y)=m \ne -1$, dallo Step 3 abbiamo $f(x+h)=f(x)+h$, con $h=m+1$.
Dallo step 4 si deduce che per ogni intero $n$ si ha
$f(x+n)=f(x)+nk$, in particolare per $n=h$ abbiamo

$f(x+h)=f(x)+h=f(x)+hk \Rightarrow h(k-1)=0$

Ora, $h \ne 0$ perché $m \ne -1$ allora necessariamente $k=1$ ovvero

$f(x+1)=f(x)+1$

Definiamo $g(x):=f(x)-x$ abbiamo che $g(x+1)=g(x)$ cioè $g(x)=c$ costante allora $f(x)=x+c$ quest'espressione dallo step 2 abbiamo

$f(x+1)=f(f(x)) \Rightarrow x+1+c=x+2c \Rightarrow c=1$

1) $EE a in ZZ$ tale che $f(a)= -1$
2) $f(f(x)) = f(x+1)$ per ogni $x in ZZ$
Quindi l'unica soluzione iniettiva è $f(x) = x+1$ (sostituendo si vede che è soluzione). Cerchiamo le eventuali soluzioni non iniettive:
3) $f(x+1)= f(x) + [f(-1) +1]$ per ogni $x in ZZ$.
Se $f(-1) != -1$, la funzione è strettamente monotona, dunque iniettiva. Non ci interessa.
Se $f(-1)= -1$ si ha $f(x+1)= f(x)$ per ogni $x in ZZ$, quindi $f $ è costante, e necessariamente $f(x) = -1$ per ogni $x in ZZ$ (anche qui, sostituendo si vede che è soluzione).