Rigel ha scritto:[... ]spirale archimedea in coordinate polari [...]
Certo. Ma in pratica – fatti cioè i conti – non cambia nulla!
La spirale di Archimede si allontana dal centro proporzionalmente all'angolo di cui gira. In generale la sua equazione polare è dunque:
[NB: $ρ$ = distanza dal centro (punto fisso): $φ$ = angolo di rotazione]
$ρ(φ) = ρ(0) + kφ$ (con $ρ(0)$ e $k$ costamti).
Nel nostro caso è $ρ(0) = r$; e siccome od ogni giro $ρ$ aumenta dello spessore $s$, è $k =s/(2π)$.
Affiché $ρ$ diventi $R$ occorre che $φ$ diventi $(R-r)/k =(R-r)/s·2π$.
La lunghezza del nastro aumenta del tratto elementare $dL= ρ(φ)dφ$ ad ogni aumento elementare $dφ$ della rotazione angolare.
La lunghezza quando $ρ$ è diventato $R$ è dunque l'integrale in $dφ$ di
$ρ(φ)=r+s/(2π)φ$
per $φ$ da 0 a $φ_L = (R-r)/s2π$ ossia:
$r·φ_L + s/(2π)·φ_L^2/2 = r·(R-r)/s·2π + 1/2s/(2π)·((r–r)/s2π)^2 = π/s(R^2 - r^2)$.
E questo è lo stesso risultato che si ottiene pensando a $(R-r)/s$ strati (cioè giri) di lunghezza variabile linearmente dalla minima $2πr$ alla massima $2πR$, cioè di lunghezza media:
$(2πr + 2πR)/2 = π(R+r)$.
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P.S. (Editando, mar 24 ottobre , h14:48)
Dove ho scritto
«La lunghezza del nastro aumenta del tratto elementare $dL= ρ(φ)dφ$ ad ogni aumento elementare $dφ$ della rotazione»
mi aspettavo (a partire dal giorno dopo!) che qualcuno (magari
Rigel stesso, oppure
orsoulx, o
dan95, o
axpgn, o altri ancora...) mi obiettasse che ,... "
non è proprio così!”.
Infatti l'espressiione
dL=
ρdφ è sbagliata!. Non è questo il differenziale della lunghezza perché vi è trascurata la variazione di raggio
dρ (ortogonale a
ρdφ) che ha lo stesso ordine di infinitesino di
ρdφ. Quando ho scritto questo mio intervento ... ho concettualmente proprio sbagliato –
mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa! – perché allora ho pensato che fosse davvero
dL=
ρdφ.
Se quel differenziale fosse giusto, l'espressionde $π(R^2 - r^2)/s$ della lunghezza andrebbe bene per qualsiasi spessore $s$ (che è la distanza tra due spire consecutive, cioè l'aumento di raggio ad ogni giro esatto).
Ma allora ... addio alla spirale di Archimede!
Per la spirale di Archimede quella espressione della lunghezza va bene (in pratica, anche se è sbagliata in teoria) solo per $s$ molto minore del raggio minimo $r$. Ciò è in pratica sempre vero per un "rotolo".
Insomma: va bene, (per il calcolo pratico della lunghezza del rotolo – per un rotolo di carta, per un nastro adesivo, ecc., –) il sostituire l'avvolgimento a
spirale di Archimed con un fascio di tubi coassiali di spessore pari a quello della lamina avvolta. Ma in generale non va bene, e comunque la vera lunghezza della spirale di Archimede non si calcola come ho fatto io in questo intervento.
Per correggermi ho preparato un "paper" (di una pagina, che metterò in coda come immagine png) con il calcolo effettivo della lunghezza della "
spirale di Archimede".Caio ciao (a tutti gli eventiuali lettori).