radici n-sime di un numero complesso

[Hermano0]

Somma delle radici ennesime.
Consideriamo i vettori che vanno dall'origine alle varie radici: la loro somma è zero perché c'è più di un asse di simmetria. E' quindi zero anche la somma delle loro proiezioni su qualsiasi retta; in particolare valgono zero le somme delle loro proiezioni sull'asse reale e su quello immaginario e queste proiezioni sono appunto la parte reale e quella immaginaria delle radici.
Se questa soluzione non piace, eccone un'altra basata sui calcoli; indico la somma con $root(n)rho(x+iy)$ (con $x,y in RR$) e per comodità di scrittura pongo $alpha=theta/n, beta=(2pi)/n$. Ho allora

$x=cos(alpha+0beta)+cos(alpha+beta)+cos(alpha+2beta)+...+cos[alpha+(n-1)beta]=$

$=cos alpha+cos alphacosbeta-sinalphasinbeta+cosalphacos2beta-sinalphasin2beta+...+cosalphacos(n-1)beta+$
$" "-sinalpha sin(n-1)beta=$

$=cosalpha[1+cosbeta+cos2beta+...-cos(n-1)beta]-sinalpha[sinbeta+sin2beta+...+sin(n-1)beta]$

Posto ora

$A=1+cosbeta+cos2beta+...+cos(n-1)beta$
$B=sinbeta+sin2beta+...+sin(n-1)beta$
si dimostra che $A=0,B=0$ e quindi $x=0$. In modo analogo si dimostra che $y=0$.

Per chi vuole esercitarsi con la trigonometria.
Osservando le ultime righe precedenti e sapendo che $beta=(2pi)/n$ dimostrare che $A=0,B=0$

come dimostro che $A=1+cosbeta+cos2beta+...+cos(n-1)beta = 0 $ ?

[giammaria]

come dimostro che $A=1+cosbeta+cos2beta+...+cos(n-1)beta = 0 $ ?

Comincio con una precisazione che a suo tempo avevo dimenticato: devono esserci almeno due radici, cioè deve essere $n>=2$.
Una dimostrazione puramente trigonometrica è calcolare
$Asin frac beta 2=sin frac beta 2+cos beta sin frac beta 2+cos2 beta sin frac beta 2+...+cos(n-1)betasin frac beta 2$
Il primo addendo può essere scritto come $1/2(sin frac beta 2+sin frac beta 2)$ e per tutti gli altri usi le formule di Waring. Noti ora che il primo addendo di tutte le parentesi, tranne l'ultima, si semplifica col secondo addendo della della parentesi successiva ed arrivi a
$Asin frac beta 2=1/2 sin frac (beta) 2+1/2 sin frac ((2n-1)beta) 2$
Raccogli $1/2$ ed applichi la prostaferesi, ottenendo
$Asin frac beta 2=sin frac(nbeta)2sin frac ((n-1)beta)2$
Ma si ha
$sin frac(nbeta)2=sin(n/2*(2pi)/n)=sin pi=0$
e quindi
$Asin frac beta 2=0->A=0$

[Erasmus_First]

Propongo quest'altro punto di vista, senza svilupparlo fino in fondo.
Le radici $n$-esime di $z$ sono le radici complesse del polinomio:
$x^n - z$
Ora basta fare delle semplici osservazioni ricordando che relazioni ci sono tra radici e coefficienti di un polinomio...

Mi piace!
Concludo io quello che ha lasciato in sospeso milizia96.
Se $x_1$, $x_2$, $x_3$, ..., $x_n$ sono le n radici n-esime (distinte) di $z$, esse sono le n soluzioni [distinte] dell'equazione
$x^n – z = 0$
cioè gli $n$ "zeri" [distinti] del polinomio
$P_n(x) = x^n-z$ (*)
che (per il teorema fondamentale dell'algebra) è identico a
$P_n(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)·...·(x-x_n)$ (**)
a) Il coefficiente del termine di grado $n–1$ della (**) è –$(x_1+x_2+...+x_n)$ e lo stesso coefficiente nella (*) è 0 .
b) Il termine di grado 0 della (**) è $(-x_1)(-x_2)·...·(-x_n) = (-1)^nx_1x_2·...·x_n$ e lo stesso termine nella (*) è $-z$.
Donde la conclusione, (per dirla come diceva ai miei tempi il famigerato Giuseppe Scorza Dragoni ).

[@melia]

Dai, non dirmi che sei stato anche tu allievo di Scorza.
Il mio professore di matematica e fisica del liceo era stato allievo di Scorza, lo citava spesso.

[Erasmus_First]

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Dai, non dirmi che sei stato anche tu allievo di Scorza.
Il mio professore di matematica e fisica del liceo era stato allievo di Scorza, lo citava spesso.

Sara: il tuo cognome mi pare padovano (o trevisano). Di dove sei? Hai fatto l'università a Padova anche tu?
Io ho fatto Ingegneria a Padova. [Ero un "interno" del Collegio Universitario don Mazza"].
"Matricola" nell'ottobre del 1955. Allora a Padova i corsi di matematica (Analisi 1, Analisi 2, Geometria analitica 1, Geometria analitica e proiettiva) e il corso di Meccanica Razionale erano unici e comuni a studenti delle facoltà di Ingegneria, Matematica, Fisica, Matematica&Fisica. Per Analisi e Geometria si andava tutti nell'aula più grande del "Bo" (lo storico palazzo dell'università). [Ingresso dalla traversa "Via Cesare Battisti"]. Ci si stava ... stipati come le sardine in scatola! Eravamo circa 300, [circa 250 del "Biennio Propedeutico di Ingegneria" (tutti maschi!) ed una cinquantina del 1° biennio di Matematica e/o Fisica (quasi tutte dionne!)] . Scorza era forse un luminare in matematica teorica, ma dal punto di vista didattico ... faceva schifo! Ripeteva a memoria, senza sbagliare nemmeno un simbolo, esattamente quel che stava scritto nel suo testo. [Era quasi inutile andare a lezione!]. Il testo non era "stampato", bensì riprodotto "litograficamente" da manoscritto (compilato da speciali "amanuensi"). E come esaminatore Scorza era anche davvero "carogna" (che nei dialetti veneti significa pressapoco "sadico", cioè uno che si compiace nel far soffrire l'esaminando).
Di lui come "uomo" ho una memoria pessima!
Il testo ... a volte pareva una presa per i fondelli! Per esempio: dopo una proposizione quasi incomprensibile (o quantomeno del tutto "nuova") poteva starci un rinvio ad una nota a proposito in calce alla pagine. Lo studente andava speranzoso a leggere la nota, ma questa era la stessa già incontrata in precedenza, ossia: «Il significato della frase è manifesto.»
Ai miei tempi gli studenti di Ingegneria non potevano iscriversi al 3° anno senza avere "sbiennato", ossia senza aver superato tutti gli esami del biennio [tranne al massimo due tra " tra questi quattro: le due "lingue" – a scelta dell'allievo tra inglese, francese, tedesco e spagnolo – , "disegno 2" e "mineralogia"]. A restare in corso era dunque una minoranza! Ed io ero terrorizzato dalla paura di non farcela!
[Pensa che a distanza di 10 o 12 anni, quando ero già sposato e padre da anni (e lavoravo ancora a Milano), ogni tanto di notte sognavo l'oraledi Analisi 2, sognavo che Scorza mi interrogava sui logaritmi nel campo complesso e sulle equazioni differenziali di funzioni a più variabili ... ed io (nel sogno) mi "impapinavo" e non riuscivio a rispondere!]
La mia annata [delle matricole di Ingegneria del 1955] è stata giudicata "eccezionale" perché abbiamo "sbiennato" restando in corso in 45 (su 250). Delle matricole dell'annata successiva (circa 260) hanno "sbiennato" in corso solo 15, (QUINDICI soltanto, cioè solo il 6% !). Questo perché a far coppia con Scorza nella "carognaggine" era arrivato un nuovo docente di Geometria ancora più"carogna" di Scorza: Mario Baldassarri . Secondo me Baldassarri era anche un pazzoide! [Per fortuna io in geometria ho avuto Ugo Morin che era davvero un signore]. Una volta Baldassarri ad un esaminando che in pieno luglio si era presentato non con la giacca ma indossando una maglietta bianca (allora di moda e detta "argentina") disse: «Hai il coraggio di venir a farti esamionare in canottiera? Magari la prossima volta mi arriveresti in mutande! Torna con la giacca a settembre!». Non solo gli rifiutò l'esame, ma trattenne la "schedina" (in modo che il malcapitato non potesse ripresentarsi nella stessa sessione, nemmeno nell'appello successivo). Un'altra volta ebbe la spudoratezza di bocciare una scrivendogli sul libretto:
π/30 (pi-greco/trentesimi) RIPROVATO
[Non sto raccontando leggende metropolitane, ma fatti realmente accaduti nel 1957 a studenti del mio stesso collegio universitario].
[Per fortuna degli studenti Baldassarri è morto a soli 44 anni!].
Scusa, Sara/@melia! Mi hai innescato vecchi ricordi, e non tutti lieti!

______

[Hermano0]

come dimostro che $A=1+cosbeta+cos2beta+...+cos(n-1)beta = 0 $ ?

Comincio con una precisazione che a suo tempo avevo dimenticato: devono esserci almeno due radici, cioè deve essere $n>=2$.
Una dimostrazione puramente trigonometrica è calcolare
$Asin frac beta 2=sin frac beta 2+cos beta sin frac beta 2+cos2 beta sin frac beta 2+...+cos(n-1)betasin frac beta 2$
Il primo addendo può essere scritto come $1/2(sin frac beta 2+sin frac beta 2)$ e per tutti gli altri usi le formule di Waring. Noti ora che il primo addendo di tutte le parentesi, tranne l'ultima, si semplifica col secondo addendo della della parentesi successiva ed arrivi a
$Asin frac beta 2=1/2 sin frac (beta) 2+1/2 sin frac ((2n-1)beta) 2$
Raccogli $1/2$ ed applichi la prostaferesi, ottenendo
$Asin frac beta 2=sin frac(nbeta)2sin frac ((n-1)beta)2$
Ma si ha
$sin frac(nbeta)2=sin(n/2*(2pi)/n)=sin pi=0$
e quindi
$Asin frac beta 2=0->A=0$

Grazie

[@melia]

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@Erasmus
Io sono di Mirano (VE), ho fatto il liceo a Mirano e l'Università a Padova (Matematica), ma parliamo tra la fine degli anni 70 e i primi anni 80. Il mio professore di matematica e fisica del liceo aveva fatto Fisica probabilmente in quegli anni però non con Morin (il mio liceo si chiamava Ugo Morin e il professore ha mai detto che fosse stato un suo insegnante), ma certamente con Scorza.
Mario Baldassarri sarà anche morto giovane, ma aveva già avuto un figlio, Francesco, che è stato il mio insegnante di Geometria 2 nell'A.A. 79-80.
All'epoca mia le cose andavano un pochino meglio, ma dei 150 iscritti al primo anno di matematica ci siamo laureati in meno della metà