radici n-sime di un numero complesso

[namelessg]

salve a tutti
qualcuno mi può spiegare in modo semplice perchè
dato un numero complesso z
la somma delle radici n esime di z è = 0
e
il prodotto delle radici n esime di z è = (-1)^(n-1)*z
?? grazie

[giammaria]

Moderatore: giammaria

Sposto in Scervelliamoci un po' perché il problema, pur non difficile, è abbastanza atipico da risultare divertente

[giammaria]

namelessg attende una risposta, ed in mancanza di altri gliela do io; per il diletto di chi voglia cimentarsi, ometto però una dimostrazione di goniometria (vedi in fondo). Comincio con la seconda domanda.

Prodotto delle radici ennesime.
In coordinate polari, si $z(rho, theta)$; le sue radici saranno $(root(n)rho,(theta+2kpi)/n)$, con $k=0,1,2,...,(n-1)$. Il prodotto delle radici $p$ ha quindi come modulo
$rho_p=(root(n)rho)^n=rho$ (lo stesso di $z$)
e come argomento
$theta_p=(theta+0)/n+(theta+2pi)/n+(theta+2pi*2)/n+...+(theta+2pi(n-1))/n=$

$=(ntheta+2pi[0+1+2+...+(n-1)])/n=(ntheta)/n+(2pi)/n*(n(n-1))/2=theta+pi(n-1)$
A meno di multipli dell'angolo giro, si hanno quindi i seguenti casi:
- se $n-1$ è pari, $theta_p=theta$ e quindi $p=z$
- se $n-1$ è dispari, $theta_p=theta+pi$ e quindi
$p=rho[cos(theta+pi)+isin(theta+pi)]=rho(-cos theta-isintheta)=-z$

Somma delle radici ennesime.
Consideriamo i vettori che vanno dall'origine alle varie radici: la loro somma è zero perché c'è più di un asse di simmetria. E' quindi zero anche la somma delle loro proiezioni su qualsiasi retta; in particolare valgono zero le somme delle loro proiezioni sull'asse reale e su quello immaginario e queste proiezioni sono appunto la parte reale e quella immaginaria delle radici.
Se questa soluzione non piace, eccone un'altra basata sui calcoli; indico la somma con $root(n)rho(x+iy)$ (con $x,y in RR$) e per comodità di scrittura pongo $alpha=theta/n, beta=(2pi)/n$. Ho allora

$x=cos(alpha+0beta)+cos(alpha+beta)+cos(alpha+2beta)+...+cos[alpha+(n-1)beta]=$

$=cos alpha+cos alphacosbeta-sinalphasinbeta+cosalphacos2beta-sinalphasin2beta+...+cosalphacos(n-1)beta+$
$" "-sinalpha sin(n-1)beta=$

$=cosalpha[1+cosbeta+cos2beta+...-cos(n-1)beta]-sinalpha[sinbeta+sin2beta+...+sin(n-1)beta]$

Posto ora

$A=1+cosbeta+cos2beta+...+cos(n-1)beta$
$B=sinbeta+sin2beta+...+sin(n-1)beta$
si dimostra che $A=0,B=0$ e quindi $x=0$. In modo analogo si dimostra che $y=0$.

Per chi vuole esercitarsi con la trigonometria.
Osservando le ultime righe precedenti e sapendo che $beta=(2pi)/n$ dimostrare che $A=0,B=0$

[milizia96]

Propongo quest'altro punto di vista, senza svilupparlo fino in fondo.
le radici $n$-esime di $z$ sono le radici complesse del polinomio:
$x^n - z$
Ora basta fare delle semplici osservazioni ricordando che relazioni ci sono tra radici e coefficienti di un polinomio...

[giammaria]

Bella soluzione, complimenti! A stretto rigor di termini, le relazioni fra radici e coefficienti di un polinomio sono programma di secondaria solo per il secondo grado, ma credo che in qualche modo molti studenti di quelle classi ne conoscano le più facili.

[namelessg]

grazie mille

[namelessg]

salve ho fatto per quanto riguarda la somma
la prova con matlab e mi restituisce la somma delle radici nesime di 3+2i è 2.2204e-016 +1.1102e-016i e non mi da zero
la mia domanda è un num il cui esponente è e-016 è un num vicino a 0?

[namelessg]

e poi tornando alle relazioni fra radici e coefficienti di un polinomio
ho pensato che per la somma : le radici dei polinomi si chiamano anche zeri, perche si ottengono
risolvendo l’equazione p(x) = 0. e percio la somma vale 0

ma il prodotto non sono riuscita a capire la relazione :S

[giammaria]

Per la prima domanda: su calcolatori e calcolatrici, una scritta come 2.2204e-16 indica la notazione esponenziale $2.2204*10^(-16)$ (che dovresti aver studiato in fisica): significa che le cifre 22204 sono precedute da 16 zeri, il primo dei quali prima della virgola. Quindi sì, è un numero molto vicino a zero; tenendo conto delle approssimazioni di calcolo, può essere considerato veramente zero.

Per la seconda domanda, sei nel giusto quando dici "ho pensato che per la somma : le radici dei polinomi si chiamano anche zeri, perché si ottengono risolvendo l’equazione p(x) = 0" ma non puoi concludere dicendo "e perciò la somma vale 0". Supponi ad esempio che sia $p(x)=x^2-5x+6$: le sue radici sono $x_1=2,x_2=3$ e la loro somma è $5$.
Milizia96 ha però fatto notare che nel nostro caso si può applicare un teorema che si studia all'università e che si riferisce a polinomi in cui il primo coefficiente è $1$, cioè del tipo
$p(x)=x^n+a_1x^(n-1)+...+a_n$
Questo teorema afferma, fra l'altro, che considerando tutte le radici del polinomio (anche quelle complesse), la loro somma è $-a_1$ ed il loro prodotto è $(-1)^na_n$.
Notiamo ora che le radici ennesime di $k$ sono le soluzioni dell'equazione $x^n=k$; scrivendola come $x^n+0x^(n-1)+...-k=0$ vediamo che $a_1=0, a_n=-k$ e, applicando quel teorema, ne deduciamo le affermazioni su somma e prodotto delle radici complesse di un numero.
Io avevo cercato di darti una dimostrazione che non usasse quel teorema, ma evidentemente qualcosa ti sfugge: in quale punto esatto ci siamo persi di vista? Almeno l'inizio ti è chiaro?

[namelessg]

ah ho capito grazie mille sisi pero mi interessava anche capire la relazione con i polinomi ciao