Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda nberlino16 » 28/06/2016, 10:27

Buongiorno a tutti.
Sono davanti a questo quesito. Ve ne riporto il testo e vi spiego la "strada" che ho tentato, senza successo. E' probabile che sia anche "semplice", ma egualmente non ho idee.
Su una sfera un triangolo è definito dai segmenti di tre cerchi massimi che si intersecano formando tre angoli , β e γ. Dimostrare che l'area del triangolo è R^2(+ β+γ-π) dove R è il raggio della sfera.

Dunque ho iniziato disegnando la figura. La potrei approssimare a questa immagine.Immagine
Ho continuato facendo delle considerazioni sulla formula. E' giusto che la somma degli angoli (+ β+γ-π), che io ho supposto essere espressi in radianti, sia maggiore di 0 in quanto è un triangolo della geometria ellittica, in cui la somma degli angoli interni è maggiore di 180°.
Ora arriva la parte in cui penso vi metterete le mani nei capelli.
Ho fatto un discorso tenendo conto della relazione tra lunghezza dell'arco, angolo e raggio.
Scrivendo A = R(R+R β+Rγ-Rπ). Quelli tra parentesi sono archi di circonferenza e l'ultimo è una semicirconferenza. Poi niente, ho provato a pensare alle formule dell'area del triangolo, ma sono inutili visto che questo non appartiene alla geometria piana, no?
Grazie dell'attenzione.
Buona giornata a tutti.
nberlino16
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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda Vincent46 » 28/06/2016, 12:40

Io ho provato a farlo così. Spero che la spiegazione si capisca.

Immagina di prolungare due dei tre lati del triangolo sferico, in modo da ottenere una coppia di cerchi massimi che si incontrano in due punti antipodali. Ad esempio prolunga quelli relativi all'angolo $\alpha$. Questa intersezione individua una coppia di "spicchi". Si nota facilmente che ognuno dei due spicchi ha area totale $ 4 \pi r^2 * \frac{\alpha}{2 \pi} = 2 \alpha r^2$.

Ora fai la stessa cosa con le altre due coppie di lati. Per ogni coppia di lati hai altri due spicchietti. Quindi in totale abbiamo individuato sei spicchi di cui sappiamo calcolare l'area. Ora, se immagini di sommare l'area di tutti questi sei spicchietti, ottieni che questi ti ricoprono l'intera sfera, e hanno intersezione vuota, eccetto per due aree comuni ad alcuni spicchi. Precisamente, tre dei sei spicchi hanno intersezione uguale al triangolo di cui vogliamo calcolare l'area, e gli altri tre hanno intersezione uguale all' "antipodale" del suddetto triangolo, a esso congruente.

Risulta dunque la seguente uguaglianza di aree, dove con $T$ indico l'area che stiamo cercando e con $S_{\x}$ indico lo spicchio relativo all'angolo $x$:

$$ 2 S_{\alpha} + 2 S_{\beta} + 2 S_{\gamma} = 4 \pi r^2 + 4 T $$.

Ricordando l'espressione dell'area degli spicchietti, si trova proprio la formula che hai addotto.
Vincent46
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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda nberlino16 » 28/06/2016, 12:55

Ti ringrazio molto!
Ho compreso il procedimento però solo una cosa ti chiedo.
Non capisco perché l'area dello spicchio è quella che hai inserito. Potresti spiegarmi?
nberlino16
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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda Vincent46 » 28/06/2016, 14:16

nberlino16 ha scritto:Ti ringrazio molto!
Ho compreso il procedimento però solo una cosa ti chiedo.
Non capisco perché l'area dello spicchio è quella che hai inserito. Potresti spiegarmi?

La spiegazione intuitiva è che probabilmente l'area dello spicchio sta all'area della sfera come l'angolo sotteso dallo spicchio sta all'angolo sotteso dalla sfera, che è $2 \pi$. Mi è venuto per analogia coi settori circolari nel caso planare. Se vuoi una spiegazione "rigorosa", mi viene in mente ad esempio che l'area dello spicchio si potrebbe calcolare direttamente utilizzando gli integrali superficiali
Vincent46
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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda Erasmus_First » 30/06/2016, 04:42

Scusate la mia ... "deformazione professionale". [Sono stato un profe di matematica :-D ]
Lasciamo perdere la "geometria ellittica", quella che ha sostituito il 5° postulato di Euclide: «Se P è un punto non appartenente alla retta r, c'è un'unica retta per P parallela ad r» con il postulato: «Se P è un punto non appartenente alla retta r, non c'è alcuna retta per P parallela ad r». Il quesito è uno dei teoremi fondamentali di "trigonometria sferica".
E non si confonda lo "spicchio" (che è una parte "solida" di sfera) con il "fuso" (che è, per così dire, la pelle di uno spicchio, ossia la corrispondente parte di superficie sferica).

Spicchio e rispettivo fuso sono caratterizzati dal raggio (che è il raggio della sfera in questione, diciamolo $r$] e dall'angolo $φ$ (che è l'angolo diedro tra le facce dello spicchio). Detto $V_s$ il volume di uno spicchio di raggio $r$ e angolo $φ$ e detta $A_f$ l'area del corrispondente fuso, valgono evidentemente le proporzioni:
1) $V_s/(4/3πr^3) = φ/(2π)$ (da cui $V_s =2/3 φ r^3$);
2) $A_f/(4πr^2) = φ/(2π)$ (da cui $A_f =2 φ r^2$).
---------
Una volta avevo "postato" un paio di pagine con cenni di trigonometria sferica sul forum "Rudi Mathematici" di Coelestis.
Vado a cercare ...
Fatto!
Questo è il posto dove parlavo di trigonometria sferica:
–––> http://www.trekportal.it/coelestis/showthread.php?t=55625-
Qui si manda con un link alla pagina:
–––> http://www.trekportal.it/coelestis/showpost.php?p=736107&postcount=1796

Ed ecco le due pagine con cenni di trigonometria sferica (ossia i principali teoremi).

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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda @melia » 30/06/2016, 07:58

Grazie. Ottima sintesi.
Hai fatto bene a mettere anche il link alla pagina perché le pagine si vedono tagliate nel bordo destro.
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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda Erasmus_First » 03/07/2016, 07:19

Metto un'immagine con il tresto d'un problema di geometria tridimensionale in cui conviene usare un paio di nozioni di trigonometria sferica.
[Precisamente: a) Teorema degli angoli e dell'area dei triangoli sferici – oggetto del quiz di apertura di questo thread – : b) Secondo teorema del coseno].
Immagine
–––> Quiz ad hoc.png

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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda Erasmus_First » 03/07/2016, 20:47

SU!

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Re: Problema sulla geometria ellittica

Messaggioda aiolos » 03/06/2019, 15:35

i link non funzionano.
P.S.: si può derivare il teorema di L'Huilier dal teorema dei coseni di Eulero o è una corbelleria?
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