Identità

[xAle]

Salve a tutti,
riporto un quesito presente nella preface di "Inside interesting integrals" di Paul j. Nahin. Spero posso essere interessante e stimolante anche per voi

Without actually calculating $x$, show that if $x+1/x=1$ it then follows that $x^7+1/x^7=1$

[dan95]

Questi quesiti non sono adatti a questa sezione..
Ti consiglio di scriverlo nella sezione "scervelliamoci un pò", nel frattempo qualche moderatore errante accorgendosi del doppio topic cancellerà questo...o ti bannerà...

[orsoulx]

Un percorso di basso livello, che permette di aggirare i numeri complessi, può consistere nel considerare le potenze dispari di $ x+1/x $:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ (x+1/x)^3=x^3+1/x^3+3(x+1/x)=1 $;
$ (x+1/x)^5=x^5+1/x^5+5(x^3+1/x^3)+10(x+1/x)=1 $;
$ (x+1/x)^7= x^7+1/x^7+7(x^5+1/x^5)+21(x^3+1/x^3)+35(x+1/x)=1 $.
Da cui: $ x^3+1/x^3=-2; x^5+1/x^5=1; x^7+1/x^7=1 $.

Ciao

[consec]

Propongo un'altra soluzione che generalizza il problema senza passare per i numeri complessi

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Riscrivendo ipotesi e tesi, dobbiamo dimostrare che se $x^2+1=x$ allora $x^14+1=x^7$.

$x^2=x-1 => x^14+1= (x-1)^7+1= x^7-7x^6+21x^5-35x^4+35x^3-21x^2+7x$

Quindi dobbiamo mostrare che $-7x^6+21x^5-35x^4+35x^3-21x^2+7x=0$

Dall'ipotesi segue che per ogni intero $n>=0$ è vero che $x^(n+3)=-x^n$, infatti la generica espressione $ax^(m+1)-ax^m$ può essere scritta sia come $ax^m*x-ax^m=ax^m*(x^2+1)-ax^m=ax^(m+2)$ sia come $ax^(m+1)-ax^(m-1)*x=ax^(m+1)-ax^(m-1)*(x^2+1)=-ax^(m-1)$ per ogni intero positivo quindi eguagliandoli e scalando l'esponente si ottiene il lemma (alternativamente si scrive $x^3=x^2*x=(x-1)*x=x^2-x=x^2-1+1-x=-1=-x^0$ che implica il lemma)

Allora $x^6=-x^3=1$, $x^5=-x^2$, $x^4=-x$ e $x^3=-1$

Quindi $-7x^6+21x^5-35x^4+35x^3-21x^2+7x$ diventa $-7-21x^2+35x-35-21x^2+7x=-7-42x^2+35x-35+7x$ alché riusando l'ipotesi che $x^2+1=x$ si ricava $-7-42(x-1)+35x-35+7x$ e tutti i termini si elidono

Edit: effettivamente la proprietà è valida per tutti gli interi, quindi il problema diventa molto più veloce dato che $x^-7=x^-1$ e $x^7=x$. A questo punto la tesi è vera per ogni $x^(6n+1)+x^(6m-1)$ per $n,m in ZZ$.

[xAle]

Riporto la soluzione data dall'autore del libro, in seguito aggiungerò anche la mia

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Since $x+1/x=1$, then multiplying through by $x$ gives $x^2+1=x$ or, rearranging, $x^2=x-1$. Multiplying through by $x$ again, $x^3=x^2-x$ or, substituting our expression for $x^2$, $x^3=x-1-x=-1$. Squaring this gives $x^6=1$, and then multiplying through by $x$ we have $x^7=x$. So, substituting $x^7$ for $x$ in the original $x+1/x=1$ we have $x^7+1/x^7=1$ and we are done.

[Erasmus_First]

Riporto la soluzione data dall'autore del libro [...]

Visto.
Orribilmente farraginosa (secondo me, naturalmente).

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Se [in $CC$] $x+1/x = 1$, allora $x = e^(j(6k+1)π/3) ∨ x=e^(j(6h-1)π/3$, con $h$ e $k$ interi arbitrari.
Pertanto, posto $∀n ∈ ZZ$ $Y_n = x^(2n+1) + 1/x^(2n+1) = 2 cos((2n+1)π/3)$, la sequenza (di reali) ${Y_n}$ risulta periodica di periodo 3:
$∀n ∈ ZZ$ $Y_n=Y_(n\ mod\ 3)$.

Codice:

n   ––> ...   –3     –2     –1      0       1       2      3      4      5     6  ...
Yn  ––>  ...   1     -2      1      1      -2       1      1     -2      1     1  ...

In particolare $Y_3 = Y_0$, ossia $x^7+1/x^7 = x+1/x =1$.

_______

[orsoulx]

Orribilmente farraginosa (secondo me, naturalmente).

Com'è buono lei!! Però Professore forse non ha letto bene il testo:

Without actually calculating $ x $, ....

Ciao

[Erasmus_First]

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Orribilmente farraginosa (secondo me, naturalmente).

Ribadisco!

Without actually calculating $ x $, ....

Con l'ipotesi $x+1/x=1$, la tesi che ripeterò qui sotto si prova anche "senza calcolare effettivamente $x$".
Tesi
$(x+1/x=1) ∧ (∀n∈ZZ\ Y_n =x^(2n+1)+1/x^(2n+1))$ $⇒$

$⇒$ $(∀n∈ZZ\ Y_n =Y_(n\ mod\ 3)) ∧([Y_0,Y_1,Y_2]=[1, -2, 1])$.

Prova
Essendo $x+1/x=1$, è anche:
$(x+1/x)^2=x^2 + 2 + 1/x^2 =1$.
Con ciò:
$(x^(2n-1)+1/x^(2n-1))·(x+ 1/x)^2 = x^(2n+1)+1/x^(2n+1) + 2(x^(2n-1)+1/x^(2n-1))+ x^(2n-3)+1/x^(2n-3) =$
$=x^(2n-1)+1/x^(2n-1)\ ⇔\ x^(2n-3)+1/x^(2n-3) + x^(2n-1)+1/x^(2n-1)+ x^(2n+1)+1/x^(2n+1)=0$,
ossia:
$∀n∈ZZ\ Y_(n-2)+Y_(n-1)+Y_n=0$.
In particolare, per $n=1$:
$Y_(-1)+Y_0+Y_1 =0$.
E siccome $Y_0=1$ per ipotesi e $Y_(-1) =1/x + x =Y_0$, risulta
$Y_1=-2$.
Essendo dunque $Y_0=1$ e $Y_1 = -2$:
• $Y_0+Y_1+Y_2=0\ ⇒\ Y_2=1$;
• $Y_1+Y_2+Y_3=0\ ⇒\ Y_3=1=Y_0$;
• $Y_2+Y_3+Y_4=0\ ⇒\ Y_4=-2=Y_1$;
• $Y_3+Y_4+Y_5=0\ ⇒\ Y_5=1=Y_2$;
• ... ;
e per induzione completa
$∀k∈ZZ$
• $Y_(3k) = Y_0 =1$;
• $Y_(3k+1) = Y_1 = -2$;
• $Y_(3k+2)=Y_2 = 1$.

_______

[orsoulx]

Dai Erasmus, è quasi Natale, cerca di essere un po' più buono
Ti parafraso la soluzione dell'autore

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$ x+1/x=1 $ da cui, eliminando il denominatore
$ x^2+1=x $ moltiplicando ancora per $ x $
$ x^3 + x = x^2 $ sommando membro a membro le ultime due
$ x^3 = -1 $ da cui $ x^6=1 $ e $ x^7 = x $.

Cosa tu ci trovi di "orribilmente farraginoso" non riesco proprio a capirlo.
Ciao

[Erasmus_First]

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[...] cerca di essere un po' più buono

«Καὶ μὴ κρίνετε, καὶ οὐ μὴ κριθῆτε» (κατά Λουκάν, ΣT';37)
«Et nolite iudicare, ne iudicemini», (secundum Lucam, VI:37 – iuxta vetera vulgata)
vel
«Et nolite iudicare, et non iudicabimini»] (Luc. 6:37 – iuxta nova vulgata)

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P.S.
La sequenza periodica che ho trovato, cioè

Codice:

Yn → ..., 1, -2,  1,  1, -2,  1,  1, -2,  1,  1, -2, ...
n  → ...,-3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7, ...

$(dove,\ se\ x+1/x=1,\ Y_n=x^(2n+1)+1/x^(2n+1))$ mi piace assai !
Giudico elegante essa ed elegante il procedimento usato per trovarla.

Buon Natale a tutti