xAle ha scritto:[...]$int dx/(x^4+1)$. Penso che questo integrale racchiuda bene il concetto che voglio esprimere.
a) Nella ricerca di una primitiva di $t^2sqrt(t^2+1)$ si può usare anche la sostituzione $t=tan(φ)$ con la quale la primitiva da cercare è quella di $sin^2(φ)/cos^5(φ)$ ... che io non so trovare!
[E il perché sta nel fatto che se uso le formule di multiplazione per abbassare il grado delle potenze mi trovo una somma al denominatore ... e non so come procedere se non con la ulteriore sostituzione $s = sinφ$ per arrivare ad una frazione nella indeterminata $s$. Troppo incasinata!].
Invece con la sostituzione $t=sinh(φ)$ si ha subito:
$t^2sqrt(t^2+1) dt = sinh^2(φ)d/(dφ)sinh(φ) dφ = [sinh(φ)·cosh(φ)]^2 dφ$.
E siccome le potenze mi vengono al numeratore trovo conveniente l'impiego delle formule di multiplazione.
Divido e moltiplicio per 4 ottenendo:
$[sinh(φ)·cosh(φ)]^2 = 1/4[2sinh(φ)cosh(φ)]^2 = 1/4sinh^2(2φ) = 1/8[cosh(4φ)-1]$
la cui primitiva
$1/32sinh(4φ)-φ/8$
è immediata.
Siccome $cosh(φ)+sinh(φ) = e^φ$, viene $φ =ln[sinh(φ)+cosh(φ)] = ln(t+sqrt(t^2+1)$.
Adesso mi basta sviluppare $sinh(4φ)$ in una espressione di $sinh(φ)$ e $cosh(φ)$ da sostiuire poi rispettivamente con $t$ e $sqrt(t^2+1)$.
$1/32sinh(4φ)-1/8 φ = 1/16 sinh(2φ)·cosh(2φ)-1/8 φ =$
$=1/8sinh(φ)·cosh(φ)·[2cosh^2(φ)-1]-1/8 φ =$
$=1/4sinh(φ)·cosh^3(φ)-1/8sinh(φ)·cosh(φ)·-1/8 φ =$
$=1/4 tsqrt(t^2+1)(t^2+1) - 1/8tsqrt(t^2+1) - 1/8 ln(t+sqrt(t^2+1))=$
$=1/8[(2t^3+t)sqrt(t^2+1)-ln(t+sqrt(t^2+1)]$.
b) Non capisco il nesso tra l'attuale
thread e $∫(dx)/(x^4+1)$. Comunque;
$x^4+ 1 = (x^2 + sqrt2x + 1)(x^2 - sqrt2x + 1) ⇒ $
$ ⇒ 1/(x^4+1) = (Ax+B)/(x^2+sqrt2x+1) - (Cx-D)/(x^2-sqrt2x+1) ⇒ $
$⇒ 1/(x^4+1) = 1/4[(sqrt2x+2)/(x^2+sqrt2x+1) - (sqrt2x-2)/(x^2-sqrt2x+1)] =$
$= sqrt2/8[(2x+sqrt2 +sqrt2)/(x^2+sqrt2x+1) - (2x-sqrt2-sqrt2)/(x^2-sqrt2x+1)]=$
$= sqrt2/8[(2x+sqrt2)/(x^2+sqrt2x+1) - (2x-sqrt2)/(x^2-sqrt2x+1)]+1/4[1/(x^2+sqrt2x+1) +1/(x^2-sqrt2x+1)] =$
$= sqrt2/8d/(dx)ln((x^2+sqrt2x +1)/(x^2-sqrt2x +1)) +sqrt2/4 d/(dx)arctan(sqrt2x+1)-sqrt2/4 d/(dx)arctan(sqrt2x-1)$.
$∫(dx)/(x^4+1) = sqrt2/8ln((x^2+sqrt2x +1)/(x^2-sqrt2x +1))+sqrt2/4[arctan(sqrt2x+1)-arctan(sqrt2x-1)] +k$.