Teoria dei numeri e funzioni

[gl630]

Problema 3. Sia N l’insieme degli interi positivi. Determinare tutte le funzioni g: N→N tali che €(g(m) + nŠ€)(m + g(n))
Šè un quadrato perfetto per tutti gli m,n∈N.

[nab]

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Intuizione
Una possibile classe di funzioni che risolve il problema potrebbe essere $g(x)=x+c$ per $c \in \mathbb{N}$
da cui segue che $(m+n+c)^2$ è un quadrato perfetto $\forall (m, n, c) \in \mathbb{N}^3$ per definizione.
Tutte le altre funzioni non rispettano le richieste del problema ma andrebbe dimostrato formalmente.

Dimostrazione
Secondo le ipotesi $g(m)+n = g(n) + m$ è verificato $\forall (m, n) \in \mathbb{N}^2$
Pertanto estendendo il problema sui reali, $g'(m) = g'(n) $ è verificato $\forall (m, n) \in \mathbb{R}^2$
Il che vuol dire $g'(x) = k $ con $k\in\mathbb{R}$, da cui segue che $g(x)=kx + c$
Inoltre $g$ manda $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \forall(k, c) \in \mathbb{N^2}$ e non si hanno problemi per aver esteso il problema in $\mathbb{R}$
Per concludere $km + c + n = kn +c + m$ è verificata per $k=1$
Le funzioni che risolvono il problema sono unicamente della forma $g(x)=x+c$

[consec]

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Intuizione
Una possibile classe di funzioni che risolve il problema potrebbe essere $g(x)=x+c$ per $c \in \mathbb{N}$
da cui segue che $(m+n+c)^2$ è un quadrato perfetto $\forall (m, n, c) \in \mathbb{N}^3$ per definizione.
Tutte le altre funzioni non rispettano le richieste del problema ma andrebbe dimostrato formalmente.

Dimostrazione
Secondo le ipotesi $g(m)+n = g(n) + m$ è verificato $\forall (m, n) \in \mathbb{N}^2$
Pertanto estendendo il problema sui reali, $g'(m) = g'(n) $ è verificato $\forall (m, n) \in \mathbb{R}^2$
Il che vuol dire $g'(x) = k $ con $k\in\mathbb{R}$, da cui segue che $g(x)=kx + c$
Inoltre $g$ manda $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, \forall(k, c) \in \mathbb{N^2}$ e non si hanno problemi per aver esteso il problema in $\mathbb{R}$
Per concludere $km + c + n = kn +c + m$ è verificata per $k=1$
Le funzioni che risolvono il problema sono unicamente della forma $g(x)=x+c$

Che $(g(m)+n)=(g(n)+m)$ è condizione sufficiente ma non necessaria affinché il loro prodotto sia un quadrato perfetto. Tra l'altro non sai se le applicazioni sono iniettive o suriettive: nella risposta potrebbe essere ammessa una funziona costruita come hai proposto eccettuati due interi $n_1$ e $m_1$ dove $g(n_1)$ e $g(m_1)$ sono definiti "a mano" tali che $g(n_1)=g(m_1)$ e scelti in maniera tale che le ipotesi del problema risultino comunque verificate (anche se in questo caso credo non sia difficile trovare un controesempio).

[nab]

Che $ (g(m)+n)=(g(n)+m) $ è condizione sufficiente ma non necessaria affinché il loro prodotto sia un quadrato perfetto. Tra l'altro non sai se le applicazioni sono iniettive o suriettive: nella risposta potrebbe essere ammessa una funziona costruita come hai proposto eccettuati due interi $ n_1 $ e $ m_1 $ dove $ g(n_1) $ e $ g(m_1) $ sono definiti "a mano" tali che $ g(n_1)=g(m_1) $ e scelti in maniera tale che le ipotesi del problema risultino comunque verificate (anche se in questo caso credo non sia difficile trovare un controesempio).

In $\mathbb{N}$ il numero $p\cdot q$ è un quadrato perfetto $\Leftrightarrow p=q$ oppure $(p=1, q$ quadrato$)$ oppure $(p$ quadrato, $q=1)$
(Da ciò deriva che gli esponenti dei fattori primi di un numero $n$ sono tutti pari $\Leftrightarrow n$ è un quadrato perfetto.)

Ho già analizzato il caso $p=q$. I restanti due sono banali.
Infatti se $g(m)+n=1$ dovrebbe verificarsi che $\sqrt{g(n)+m}$ è un naturale $\forall(m, n) \in \mathbb{N^2}$; il che è falso.

[consec]

Che $ (g(m)+n)=(g(n)+m) $ è condizione sufficiente ma non necessaria affinché il loro prodotto sia un quadrato perfetto. Tra l'altro non sai se le applicazioni sono iniettive o suriettive: nella risposta potrebbe essere ammessa una funziona costruita come hai proposto eccettuati due interi $ n_1 $ e $ m_1 $ dove $ g(n_1) $ e $ g(m_1) $ sono definiti "a mano" tali che $ g(n_1)=g(m_1) $ e scelti in maniera tale che le ipotesi del problema risultino comunque verificate (anche se in questo caso credo non sia difficile trovare un controesempio).

In $\mathbb{N}$ il numero $p\cdot q$ è un quadrato perfetto $\Leftrightarrow p=q$ oppure $(p=1, q$ quadrato$)$ oppure $(p$ quadrato, $q=1)$
(Da ciò deriva che gli esponenti dei fattori primi di un numero $n$ sono tutti pari $\Leftrightarrow n$ è un quadrato perfetto.)

Ho già analizzato il caso $p=q$. I restanti due sono banali.
Infatti se $g(m)+n=1$ dovrebbe verificarsi che $\sqrt{g(n)+m}$ è un naturale $\forall(m, n) \in \mathbb{N^2}$; il che è falso.

$12*3=36=6^2$
E credo che $12 != 3 AA n in NN$, sei d'accordo? Ne hai di casi da analizzare...