Diofantea con numeri primi

[.Ruben.]

Risolvere la seguente equazione con $p,q$ primi: $p^3 -q^3=p q^3 -1$

[.Ruben.]

Nessuno propone una soluzione??
Fra tre giorni posto la mia...

[spugna]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$p^3+1=q^3(p+1)$
$p^2-p+1=q^3$
$p(p-1)=(q-1)(q^2+q+1)$

$p$ è primo, quindi deve dividere uno dei fattori al secondo membro, ma dalla seconda riga è (quasi) evidente che si deve avere $p>q$, quindi $p|q^2+q+1 \Rightarrow q^2+q+1=mp$ per qualche $m \in NN$, e di conseguenza $p-1=m(q-1)$.

$q^2+q+1=mp=m[m(q-1)+1] \Rightarrow q^2+(1-m^2)q+m^2-m+1=0$

Risolvendo rispetto a $q$ si trova $Delta=m^4-6m^2+4m-3$, che deve essere un quadrato perfetto, ma per $m>3$ si ha $(m^2-3)^2<Delta<(m^2-2)^2$, mentre tra tutti i valori rimanenti va bene solo $m=3$, che porta a $q=7$ e $p=19$.