Radice n-esima del fattoriale n-esimo

Messaggioda .Ruben. » 27/12/2016, 15:44

Dimostrare che per ogni n naturale, \( \displaystyle \sqrt[n]{n!} \) non è mai intero.
.Ruben.
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Re: Radice n-esima del fattoriale n-esimo

Messaggioda Erasmus_First » 28/12/2016, 00:36

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
.Ruben. ha scritto:Dimostrare che per ogni n naturale, \( \displaystyle \sqrt[n]{n!} \) non è mai intero.
Occorre correggere "n naturale" con "n intero maggiore di 1",
["Radice n-esima" è sinonimo di "elevazione all'esponente 1/n". Quindi la radice 0-esima non esiste e la radice prima è l'identità]
Siano n e K interi maggiori di 1.
Perché sia intera la radice n-esima di K occorre che ogni divisore primo di K abbia esponente multiplo di n, condizione assente in ogni n!

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Re: Radice n-esima del fattoriale n-esimo

Messaggioda orsoulx » 28/12/2016, 09:14

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il più grande numero primo che compare nella fattorizzazione di $ n! $ ha come esponente sicuramente $ 1 $. Si dimostra facilmente per assurdo utilizzando il postulato di Bertrand. Quindi $ n! $ non può essere una potenza, con esponente qualsivoglia, di alcun intero maggiore di $ 1 $

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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Re: Radice n-esima del fattoriale n-esimo

Messaggioda .Ruben. » 28/12/2016, 11:21

Bravi!! Ma c'è una dimostrazione che non fa uso di nessuna considerazione sui numeri primi...
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Re: Radice n-esima del fattoriale n-esimo

Messaggioda kobeilprofeta » 29/12/2016, 02:43

@orsoulx
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Mi potresti spiegare la tua firma?
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Re: Radice n-esima del fattoriale n-esimo

Messaggioda orsoulx » 29/12/2016, 23:52

@kobeil,
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Tutto nasce da un pesce d'aprile che il grande Martin Gardner fece ai lettori di Scientific American negli anni '70. Puoi cercare "Ramanujan constant", magari in mathworld ;-)
Se ti servono altri dettagli scrivimi pure un MP.

Ciao e buon anno.
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
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